Упр.1012 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Даны векторы а {2; 4}, b {-2; 0}, с{0;0}, d{-2;-3}, е(2;-3}, f {0, 5}. Найдите координаты векторов, противоположных данным. Проверьте, что точки M1 (0;1), М2 (1/2;корень3/2) M3 (корень2/2;корень2/2), M4 (корень2/2;1/2), В(-1;0) лежат на единичной полуокружности. Выпишите значения синуса, косинуса и тангенса углов AOM1, АОМ2, АОМ3, АОМ4, АОВ.

Найдём координаты векторов, противоположных данным. Если $$\vec{u}=(x;y),$$ то противоположный ему вектор имеет координаты $$-\vec{u}=(-x;-y).$$

$$\vec a=(2;4)\Rightarrow -\vec a=(-2;-4)$$

$$\vec b=(-2;0)\Rightarrow -\vec b=(2;0)$$

$$\vec c=(0;0)\Rightarrow -\vec c=(0;0)$$

$$\vec d=(-2;-3)\Rightarrow -\vec d=(2;3)$$

$$\vec e=(2;-3)\Rightarrow -\vec e=(-2;3)$$

$$\vec f=(0;5)\Rightarrow -\vec f=(0;-5)$$

Проверим, лежат ли точки на единичной полуокружности с центром в точке $$O(0;0)$$ и радиусом $$1$$. Для этого достаточно убедиться, что для каждой точки выполняется равенство $$x^2+y^2=1.$$

$$M_1(0;1):\quad 0^2+1^2=1,$$

значит, $$M_1$$ лежит на окружности.

$$M_2\left(\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right):\quad \left(\frac12\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac14+\frac34=1,$$

значит, $$M_2$$ лежит на окружности.

$$M_3\left(\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right):\quad \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=\frac12+\frac12=1,$$

значит, $$M_3$$ лежит на окружности.

$$M_4\left(-\frac{\sqrt3}{2};\frac12\right):\quad \left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac12\right)^2=\frac34+\frac14=1,$$

значит, $$M_4$$ лежит на окружности.

$$B(-1;0):\quad (-1)^2+0^2=1,$$

значит, $$B$$ лежит на окружности.

Теперь выпишем значения тригонометрических функций углов, образованных лучом $$OA$$ и лучами $$OM_1, OM_2, OM_3, OM_4, OB.$$ Для точки на единичной окружности координаты имеют вид $$\left(\cos\alpha;\sin\alpha\right),$$ где $$\alpha=\angle AOM.$$ Поэтому:

$$\sin\angle AOM_1=1,\quad \cos\angle AOM_1=0,\quad \tg\angle AOM_1$$ не существует;

$$\sin\angle AOM_2=\frac{\sqrt3}{2},\quad \cos\angle AOM_2=\frac12,\quad \tg\angle AOM_2=\sqrt3;$$

$$\sin\angle AOM_3=\frac{\sqrt2}{2},\quad \cos\angle AOM_3=\frac{\sqrt2}{2},\quad \tg\angle AOM_3=1;$$

$$\sin\angle AOM_4=\frac12,\quad \cos\angle AOM_4=-\frac{\sqrt3}{2},\quad \tg\angle AOM_4=-\frac{\sqrt3}{3};$$

$$\sin\angle AOB=0,\quad \cos\angle AOB=-1,\quad \tg\angle AOB=0.$$

Ответ

$$-\vec a=(-2;-4),\quad -\vec b=(2;0),\quad -\vec c=(0;0),\quad -\vec d=(2;3),\quad -\vec e=(-2;3),\quad -\vec f=(0;-5).$$

Точки $$M_1, M_2, M_3, M_4, B$$ лежат на единичной полуокружности.

$$\sin\angle AOM_1=1,\ \cos\angle AOM_1=0,\ \tg\angle AOM_1$$ не существует;
$$\sin\angle AOM_2=\frac{\sqrt3}{2},\ \cos\angle AOM_2=\frac12,\ \tg\angle AOM_2=\sqrt3;$$
$$\sin\angle AOM_3=\frac{\sqrt2}{2},\ \cos\angle AOM_3=\frac{\sqrt2}{2},\ \tg\angle AOM_3=1;$$
$$\sin\angle AOM_4=\frac12,\ \cos\angle AOM_4=-\frac{\sqrt3}{2},\ \tg\angle AOM_4=-\frac{\sqrt3}{3};$$
$$\sin\angle AOB=0,\ \cos\angle AOB=-1,\ \tg\angle AOB=0.$$