Упр.1012 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны векторы $$a=(2;4),\ b=(-2;0),\ c=(0;0),\ d=(-2;-3),\ e=(2;-3),\ f=(0;5)$$. Найдите координаты векторов, противоположных данным.
- Проверьте, что точки $$M_1(0;1),\ M_2\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right),\ M_3\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right),\ M_4\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{1}{2}\right),\ B(-1;0)$$ лежат на единичной полуокружности. Выпишите значения синуса, косинуса и тангенса углов $$\angle AOM_1,\ \angle AOM_2,\ \angle AOM_3,\ \angle AOM_4,\ \angle AOB$$.
Проверим, что все указанные точки лежат на единичной окружности с центром в начале координат, то есть удовлетворяют уравнению $$x^2+y^2=1.$$
$$0^2+1^2=1 \Rightarrow M_1(0;1)\in \text{Окр}(O;1),$$
$$\left(\frac12\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac14+\frac34=1 \Rightarrow M_2\in \text{Окр}(O;1),$$
$$\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=\frac12+\frac12=1 \Rightarrow M_3\in \text{Окр}(O;1),$$
$$\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac12\right)^2=\frac34+\frac14=1 \Rightarrow M_4\in \text{Окр}(O;1),$$
$$(-1)^2+0^2=1 \Rightarrow B\in \text{Окр}(O;1).$$
Теперь найдём значения тригонометрических функций углов, учитывая, что для точки на единичной окружности $$\cos\angle AOM=x,\quad \sin\angle AOM=y,\quad \tg\angle AOM=\frac{y}{x}$$ при $$x\neq 0.$$
$$\sin\angle AOM_1=1,\quad \cos\angle AOM_1=0,\quad \tg\angle AOM_1 \text{ не существует};$$
$$\sin\angle AOM_2=\frac{\sqrt3}{2},\quad \cos\angle AOM_2=\frac12,\quad \tg\angle AOM_2=\sqrt3;$$
$$\sin\angle AOM_3=\frac{\sqrt2}{2},\quad \cos\angle AOM_3=\frac{\sqrt2}{2},\quad \tg\angle AOM_3=1;$$
$$\sin\angle AOM_4=\frac12,\quad \cos\angle AOM_4=-\frac{\sqrt3}{2},\quad \tg\angle AOM_4=-\frac{\sqrt3}{3};$$
$$\sin\angle AOB=0,\quad \cos\angle AOB=-1,\quad \tg\angle AOB=0.$$
