Упр.1010 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите координаты вектора а-b, если: а) а{5; 3}, b {2; 1}; б) а {3; 2}, b{-3; 2}; в) а {3; 6}, b {4; -3}; г) а {-5; -6}, b {2; -4}. Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых: а) 2AM2 — ВМ2 = 2АВ2; б) 2AM2 + 2ВМ2 = 6АВ2.

Найдём координаты разности векторов по правилу $$\vec a-\vec b=(x_a-x_b;\,y_a-y_b).$$

а) $$\vec a-\vec b=(5-2;\,3-1)=(3;\,2).$$

б) $$\vec a-\vec b=(3-(-3);\;2-2)=(6;\,0).$$

в) $$\vec a-\vec b=(3-4;\;6-(-3))=(-1;\,9).$$

г) $$\vec a-\vec b=(-5-2;\;-6-(-4))=(-7;\,-2).$$

Теперь найдём множество точек $$M$$. Введём систему координат так, чтобы $$A(0;0),\ B(a;0),\ M(x;y).$$ Тогда

$$AM^2=x^2+y^2,\qquad BM^2=(a-x)^2+y^2,\qquad AB^2=a^2.$$

а)

Из условия

$$2AM^2-BM^2=2AB^2.$$

Подставим выражения:

$$2(x^2+y^2)-\bigl((a-x)^2+y^2\bigr)=2a^2.$$

Раскроем скобки:

$$2x^2+2y^2-a^2+2ax-x^2-y^2=2a^2,$$

$$x^2+y^2+2ax=3a^2,$$

$$ (x+a)^2+y^2=4a^2.$$

Это уравнение окружности с центром в точке $$(-a;0)$$ и радиусом $$2a$$.

б)

Из условия

$$2AM^2+2BM^2=6AB^2.$$

Подставим:

$$2(x^2+y^2)+2\bigl((a-x)^2+y^2\bigr)=6a^2.$$

Раскроем скобки и упростим:

$$2x^2+2y^2+2a^2-4ax+2x^2+2y^2=6a^2,$$

$$4x^2+4y^2-4ax=4a^2,$$

$$x^2+y^2-ax=a^2,$$

$$\left(x-\frac a2\right)^2+y^2=\frac{5a^2}{4}.$$

Следовательно, множество точек $$M$$ — окружность с центром в точке $$\left(\frac a2;0\right)$$ и радиусом $$\frac{\sqrt5}{2}a$$.

Ответ

$$\vec a-\vec b=(3;2),\ (6;0),\ (-1;9),\ (-7;-2).$$

а) окружность $$\left(x+a\right)^2+y^2=4a^2$$; б) окружность $$\left(x-\frac a2\right)^2+y^2=\frac{5a^2}{4}.$$