Упр.1009 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите координаты вектора $$\mathbf{a}+\mathbf{b}$$, если:
а) $$\mathbf{a}=\{3; 2\},\ \mathbf{b}=\{2; 5\}$$;
б) $$\mathbf{a}=\{3; -4\},\ \mathbf{b}=\{1; 5\}$$;
в) $$\mathbf{a}=\{-4; -2\},\ \mathbf{b}=\{5; 3\}$$;
г) $$\mathbf{a}=\{2; 7\},\ \mathbf{b}=\{-3; -7\}$$. - Докажите, что медиану $$AA_1$$ треугольника $$ABC$$ можно вычислить по формуле $$AA_1=\frac{1}{2}\sqrt{2AC^2+2AB^2-BC^2}$$. Используя эту формулу, докажите, что если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
Пусть в треугольнике $$ABC$$ проведена медиана $$AA_1$$, тогда точка $$A_1$$ — середина стороны $$BC$$. Продлим медиану за точку $$A_1$$ и отметим точку $$A_2$$ так, что $$AA_1=A_1A_2$$. Тогда четырёхугольник $$CABA_2$$ — параллелограмм, так как его диагонали $$CA_2$$ и $$AB$$ пересекаются и делятся пополам в точке $$A_1$$.
По свойству параллелограмма имеем:
$$AA_2^2=AC^2+CB^2$$
С другой стороны, в треугольнике $$BA_2C$$ по теореме косинусов:
$$AA_2^2=2AC^2+2AB^2-BC^2$$
Так как $$AA_2=2AA_1$$, то
$$4AA_1^2=2AC^2+2AB^2-BC^2$$
Следовательно,
$$AA_1=\frac12\sqrt{2AC^2+2AB^2-BC^2}$$
что и требовалось доказать.
Теперь докажем, что если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
Пусть в треугольнике $$ABC$$ медианы $$AN$$ и $$CM$$ равны. Тогда по полученной формуле:
$$AN=\frac12\sqrt{2AB^2+2AC^2-BC^2}$$
$$CM=\frac12\sqrt{2BC^2+2AC^2-AB^2}$$
Из условия $$AN=CM$$, значит
$$\frac12\sqrt{2AB^2+2AC^2-BC^2}=\frac12\sqrt{2BC^2+2AC^2-AB^2}$$
Возведём в квадрат:
$$2AB^2+2AC^2-BC^2=2BC^2+2AC^2-AB^2$$
$$3AB^2=3BC^2$$
$$AB=BC$$
Значит, треугольник $$ABC$$ равнобедренный.
