Упр.1008 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите числа $$x$$ и $$y$$, удовлетворяющие условию:
а) $$xi+yj=5i-2j$$;
б) $$-3i+yj=xi+7j$$;
в) $$xi+yj=-4i$$;
г) $$xi+yj=0$$. - Дан параллелограмм $$ABCD$$. Докажите, что для всех точек $$M$$ величина $$(AM^2+CM^2)-(BM^2+DM^2)$$ имеет одно и то же значение.
Введём систему координат так, чтобы $$A(0;0),\; B(b;c),\; C(a+b;c),\; D(a;0),\; M(x;y).$$
Тогда по формуле расстояния:
$$AM^2=x^2+y^2,$$
$$CM^2=(a+b-x)^2+(c-y)^2,$$
$$BM^2=(b-x)^2+(c-y)^2,$$
$$DM^2=(a-x)^2+y^2.$$
Рассмотрим выражение:
$$\begin{aligned} (AM^2+CM^2)-(BM^2+DM^2) &= \bigl(x^2+y^2+(a+b-x)^2+(c-y)^2\bigr) \\ &\quad — \bigl((b-x)^2+(c-y)^2+(a-x)^2+y^2\bigr). \end{aligned}$$
Сократим одинаковые слагаемые:
$$\begin{aligned} (AM^2+CM^2)-(BM^2+DM^2) &= x^2+(a+b-x)^2-(b-x)^2-(a-x)^2 \\ &= x^2+\bigl(a^2+b^2+x^2+2ab-2ax-2bx\bigr) \\ &\quad -\bigl(b^2-2bx+x^2\bigr)-\bigl(a^2-2ax+x^2\bigr) \\ &= 2ab. \end{aligned}$$
Полученное значение не зависит от положения точки $$M$$.
Ответ: выражение $$\left(AM^2+CM^2\right)-\left(BM^2+DM^2\right)$$ постоянно и равно $$2ab$$.
