Упр.1007 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Запишите разложение по координатным векторам i и j вектора: а) х{-3;1/5}; б) у{-2;-3}; в) z{-1;0}; г) u{0;3}; д) v {0; 1}. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

Подробный ответ

Обозначим середины диагоналей трапеции $$ABCD$$ через $$M$$ и $$N$$, где $$M \in AC$$, $$AM=MC$$, а $$N \in BD$$, $$BN=ND$$.

Тогда по правилу сложения векторов:

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}$$

Так как $$M$$ — середина $$AC$$, а $$N$$ — середина $$BD$$, то

$$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\vec 0,\qquad \overrightarrow{DN}+\overrightarrow{BN}=\vec 0.$$

Сложим равенства для двух способов записи вектора $$\overrightarrow{MN}$$:

$$2\overrightarrow{MN}=(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC})+(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{BN})$$

Отсюда

$$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}.$$

Но в трапеции $$ABCD$$ основания параллельны, значит векторы $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$ противоположно направлены, поэтому

$$\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}.$$

Следовательно,

$$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC},$$

то есть

$$\overrightarrow{MN}=\frac12\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}\right).$$

Так как $$\overrightarrow{MN}$$ и $$\overrightarrow{AD}$$ направлены вдоль оснований трапеции, то

$$MN=\frac12\left(AD-BC\right).$$

Значит, отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований.