Упр.1003 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Векторы а и b не коллинеарны. Найдите числа х и у, удовлетворяющие равенству: а) 3а — xb = уа + b; б) 4а — ха + 5b + уb = 0; в) ха + 36 — yb = 0; г) а + b — Зуа + xb = 0. Вершины треугольника ABC имеют координаты А (-7; 5); В (3; -1), С (5; 3). Составьте уравнения: а) серединных перпендикуляров к сторонам треугольника; б) прямых АВ, ВС и СА; в) прямых, на которых лежат средние линии треугольника.

Так как векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ не коллинеарны, то равенство векторов возможно только при равенстве коэффициентов при $$\vec a$$ и $$\vec b$$.

а) $$3\vec a-x\vec b=y\vec a+\vec b$$

Сравним коэффициенты при $$\vec a$$ и $$\vec b$$:

$$3=y,\qquad -x=1.$$

Следовательно, $$y=3,\ x=-1.$$

б) $$4\vec a-x\vec a+5\vec b+y\vec b=0$$

Приведём подобные:

$$\left(4-x\right)\vec a+\left(5+y\right)\vec b=0.$$

Так как $$\vec a$$ и $$\vec b$$ неколлинеарны, то

$$4-x=0,\qquad 5+y=0.$$

Отсюда $$x=4,\ y=-5.$$

в) $$x\vec a+3\vec b-y\vec b=0$$

Имеем:

$$x\vec a+\left(3-y\right)\vec b=0.$$

Тогда

$$x=0,\qquad 3-y=0.$$

Следовательно, $$x=0,\ y=3.$$

г) $$\vec a+\vec b-3y\vec a+x\vec b=0$$

Приведём подобные:

$$\left(1-3y\right)\vec a+\left(1+x\right)\vec b=0.$$

Значит,

$$1-3y=0,\qquad 1+x=0.$$

Отсюда $$y=\frac13,\ x=-1.$$

Теперь найдём уравнения прямых для треугольника $$ABC$$, где $$A(-7;5),\ B(3;-1),\ C(5;3).$$

а) Серединные перпендикуляры

1) Для стороны $$AB$$:

Середина отрезка $$AB$$:

$$M\left(\frac{-7+3}{2};\frac{5+(-1)}{2}\right)=(-2;2).$$

Угловой коэффициент прямой $$AB$$:

$$k_{AB}=\frac{-1-5}{3-(-7)}=-\frac{6}{10}=-\frac35.$$

Тогда угловой коэффициент перпендикуляра:

$$k=\frac53.$$

Уравнение серединного перпендикуляра к $$AB$$:

$$y-2=\frac53(x+2).$$

После преобразования получаем:

$$3x-5y+16=0.$$

2) Для стороны $$BC$$:

Середина отрезка $$BC$$:

$$N\left(\frac{3+5}{2};\frac{-1+3}{2}\right)=(4;1).$$

Угловой коэффициент прямой $$BC$$:

$$k_{BC}=\frac{3-(-1)}{5-3}=2.$$

Тогда для перпендикуляра $$k=-\frac12$$, и

$$y-1=-\frac12(x-4).$$

После преобразования:

$$x+2y-6=0.$$

3) Для стороны $$CA$$:

Середина отрезка $$CA$$:

$$K\left(\frac{-7+5}{2};\frac{5+3}{2}\right)=(-1;4).$$

Угловой коэффициент прямой $$CA$$:

$$k_{CA}=\frac{3-5}{5-(-7)}=-\frac{2}{12}=-\frac16.$$

Тогда для перпендикуляра $$k=6$$, и

$$y-4=6(x+1).$$

После преобразования:

$$6x-y+10=0.$$

б) Прямые, на которых лежат стороны треугольника

1) Прямая $$AB$$ проходит через точки $$A(-7;5)$$ и $$B(3;-1)$$. Её уравнение:

$$3x+5y-4=0.$$

2) Прямая $$BC$$ проходит через точки $$B(3;-1)$$ и $$C(5;3)$$. Её уравнение:

$$2x-y-7=0.$$

3) Прямая $$CA$$ проходит через точки $$C(5;3)$$ и $$A(-7;5)$$. Её уравнение:

$$x+6y-23=0.$$

в) Прямые, на которых лежат средние линии треугольника

Средняя линия параллельна соответствующей стороне и проходит через середины двух других сторон.

1) Средняя линия, параллельная $$AB$$, проходит через точки $$N(4;1)$$ и $$K(-1;4)$$. Тогда

$$k=\frac{4-1}{-1-4}=-\frac35,$$

и её уравнение:

$$3x+5y-17=0.$$

2) Средняя линия, параллельная $$BC$$, проходит через точки $$M(-2;2)$$ и $$K(-1;4)$$. Тогда

$$k=\frac{4-2}{-1-(-2)}=2,$$

и её уравнение:

$$2x-y+6=0.$$

3) Средняя линия, параллельная $$CA$$, проходит через точки $$M(-2;2)$$ и $$N(4;1)$$. Тогда

$$k=\frac{1-2}{4-(-2)}=-\frac16,$$

и её уравнение:

$$x+6y-10=0.$$

Ответ

1) а) $$y=3,\ x=-1$$; б) $$x=4,\ y=-5$$; в) $$x=0,\ y=3$$; г) $$x=-1,\ y=\frac13$$.

2) а) $$3x-5y+16=0,\ x+2y-6=0,\ 6x-y+10=0$$; б) $$3x+5y-4=0,\ 2x-y-7=0,\ x+6y-23=0$$; в) $$3x+5y-17=0,\ 2x-y+6=0,\ x+6y-10=0$$.