Упр.1003 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ не коллинеарны. Найдите числа $$x$$ и $$y$$, удовлетворяющие равенству:
а) $$3\vec a-x\vec b=y\vec a+\vec b$$;
б) $$4\vec a-x\vec a+5\vec b+y\vec b=0$$;
в) $$x\vec a+3\vec b-y\vec b=0$$;
г) $$\vec a+\vec b-3y\vec a+x\vec b=0$$. - Задание учебника 2023 года. Вершины треугольника $$ABC$$ имеют координаты $$A(-7; 5)$$, $$B(3; -1)$$, $$C(5; 3)$$. Составьте уравнения:
а) серединных перпендикуляров к сторонам треугольника;
б) прямых $$AB$$, $$BC$$ и $$CA$$;
в) прямых, на которых лежат средние линии треугольника.
Так как векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ не коллинеарны, то равенство векторов возможно только при равенстве коэффициентов при $$\vec a$$ и $$\vec b$$.
а)
$$3\vec a-x\vec b=y\vec a+\vec b$$
Сравним коэффициенты при $$\vec a$$ и $$\vec b$$:
$$3=y,\qquad -x=1.$$
Отсюда
$$y=3,\qquad x=-1.$$
б)
$$4\vec a-x\vec a+5\vec b+y\vec b=0$$
Соберём подобные слагаемые:
$$\left(4-x\right)\vec a+\left(5+y\right)\vec b=0.$$
Так как $$\vec a$$ и $$\vec b$$ не коллинеарны, то
$$4-x=0,\qquad 5+y=0.$$
Следовательно,
$$x=4,\qquad y=-5.$$
в)
$$x\vec a+3\vec b-y\vec b=0$$
Имеем
$$x\vec a+\left(3-y\right)\vec b=0.$$
Тогда
$$x=0,\qquad 3-y=0.$$
Значит,
$$x=0,\qquad y=3.$$
г)
$$\vec a+\vec b-3y\vec a+x\vec b=0$$
Сгруппируем по векторам:
$$\left(1-3y\right)\vec a+\left(1+x\right)\vec b=0.$$
Отсюда
$$1-3y=0,\qquad 1+x=0.$$
Следовательно,
$$y=\frac13,\qquad x=-1.$$
Ответ
а) $$x=-1,\ y=3$$; б) $$x=4,\ y=-5$$; в) $$x=0,\ y=3$$; г) $$x=-1,\ y=\frac13$$.
