Упр.1002 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Точка М лежит на диагонали АС параллелограмма ABCD, причём AM : МС = 4:1. Разложите вектор AM по векторам а = АВ и b = AD. Напишите уравнение окружности, проходящей через три данные точки: а) А (1;-4), В (4; 5), С (3; -2); б) А (3;-7), В (8;-2), С (6; 2).

Подробный ответ

Так как точка $$M$$ лежит на диагонали $$AC$$ параллелограмма $$ABCD$$ и $$AM:MC=4:1$$, то

$$\overrightarrow{AM}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AC}.$$

В параллелограмме диагональ выражается через стороны:

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.$$

Обозначая $$\vec a=\overrightarrow{AB}$$, $$\vec b=\overrightarrow{AD}$$, получаем

$$\overrightarrow{AM}=\frac{4}{5}\left(\vec a+\vec b\right).$$

Теперь найдём уравнения окружностей, проходящих через точки $$A$$, $$B$$, $$C$$.

а) Пусть центр окружности $$O(x;y)$$. Тогда

$$AO^2=BO^2,\qquad BO^2=CO^2.$$

Составим уравнения:

$$ (1-x)^2+(-4-y)^2=(4-x)^2+(5-y)^2 $$
$$ (4-x)^2+(5-y)^2=(3-x)^2+(-2-y)^2 $$

После упрощения получаем систему:

$$ x+3y-4=0, $$
$$ x+7y-14=0. $$

Вычитая первое уравнение из второго, находим:

$$ 4y=10,\qquad y=\frac{5}{2}. $$

Тогда

$$ x=4-3\cdot \frac{5}{2}=-\frac{7}{2}. $$

Значит, центр окружности $$O\left(-\frac{7}{2};\frac{5}{2}\right)$$. Радиус:

$$ R^2=\left(1+\frac{7}{2}\right)^2+\left(-4-\frac{5}{2}\right)^2 =\left(\frac{9}{2}\right)^2+\left(\frac{13}{2}\right)^2 =\frac{81+169}{4}=\frac{250}{4}=\frac{125}{2}. $$

Следовательно, уравнение окружности:

$$ \left(x+\frac{7}{2}\right)^2+\left(y-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{125}{2}. $$

б) Пусть центр окружности $$O(x;y)$$. Тогда

$$ (3-x)^2+(-7-y)^2=(8-x)^2+(-2-y)^2 $$
$$ (8-x)^2+(-2-y)^2=(6-x)^2+(2-y)^2. $$

После упрощения получаем систему:

$$ x+y-1=0, $$
$$ x-2y-7=0. $$

Решая её, находим:

$$ y=-2,\qquad x=3. $$

Значит, центр окружности $$O(3;-2)$$, а радиус

$$ R^2=(6-3)^2+(2+2)^2=9+16=25. $$

Следовательно, уравнение окружности:

$$ (x-3)^2+(y+2)^2=25. $$