Упр.1001 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если векторы $$a$$ и $$b$$ не коллинеарны, то: а) векторы $$a+b$$ и $$a-b$$ не коллинеарны; б) векторы $$2a-b$$ и $$a+b$$ не коллинеарны; в) векторы $$a+b$$ и $$a+3b$$ не коллинеарны.
2. Напишите уравнение окружности, проходящей через точки $$A(3; 0)$$ и $$B(-1; 2)$$, если центр её лежит на прямой $$y=x+2$$.

Пусть центр окружности имеет координаты $$O(x;y).$$ Тогда, так как окружность проходит через точки $$A(3;0)$$ и $$B(-1;2),$$ её радиусы равны:

$$OA=OB.$$

Запишем это через координаты:

$$\sqrt{(3-x)^2+(0-y)^2}=\sqrt{(-1-x)^2+(2-y)^2}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$(3-x)^2+y^2=(-1-x)^2+(2-y)^2.$$

Раскроем скобки:

$$9-6x+x^2+y^2=1+2x+x^2+4-4y+y^2.$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$9-6x=5+2x-4y,$$

$$8x-4y-4=0,$$

$$2x-y-1=0.$$

Центр окружности лежит на прямой $$y=x+2,$$ значит, решаем систему:

$$\begin{cases} 2x-y-1=0,\\ y=x+2. \end{cases}$$

Подставим $$y=x+2$$ в первое уравнение:

$$2x-(x+2)-1=0,$$

$$x=3,$$

$$y=5.$$

Следовательно, центр окружности $$O(3;5).$$ Найдём радиус:

$$R=OA=\sqrt{(3-3)^2+(0-5)^2}=5.$$

Тогда уравнение окружности:

$$(x-3)^2+(y-5)^2=25.$$

Ответ: $$(x-3)^2+(y-5)^2=25.$$