Упр.1000 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Векторы а и b коллинеарны. Коллинеарны ли векторы: а) а + 3b и а; б) b-2а и а? Ответ обоснуйте. Выясните, какие из данных уравнений являются уравнениями окружности. Найдите координаты центра и радиус каждой окружности: а) (x — 1)2 + (y + 2)2 = 25; б) х2 + (у + 7)2 = 1; в) х2 + у2 + 8х — 4у + 40 = 0; г) х2 + у2 — 2х + 4у — 20 = 0; д) х2 + у2-4х-2у + 1 =0.

Пусть $$\vec a$$ и $$\vec b$$ — коллинеарные векторы. Тогда любой вектор, полученный как их линейная комбинация, тоже коллинеарен им, если коэффициенты при этих векторах не нарушают направление одной прямой.

а) $$\vec a+3\vec b$$ и $$\vec a$$ — коллинеарны, так как $$3\vec b$$ коллинеарен $$\vec a$$, а сумма коллинеарных векторов является коллинеарным вектором.

б) $$\vec b-2\vec a=\vec b+(-2\vec a)$$ и $$\vec a$$ — коллинеарны, так как $$\vec b$$ и $$-2\vec a$$ коллинеарны $$\vec a$$, а сумма коллинеарных векторов снова коллинеарна им.

Теперь приведём уравнения к виду $$\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=R^2$$.

а) $$\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=25$$ — уравнение окружности, центр $$\left(1;\,-2\right)$$, радиус $$R=5$$.

б) $$x^2+\left(y+7\right)^2=1$$ — уравнение окружности, центр $$\left(0;\,-7\right)$$, радиус $$R=1$$.

в) $$x^2+y^2+8x-4y+40=0$$

$$x^2+8x+y^2-4y=-40$$

$$\left(x+4\right)^2+\left(y-2\right)^2=-20$$

Правая часть отрицательна, значит это не уравнение окружности.

г) $$x^2+y^2-2x+4y-20=0$$

$$x^2-2x+y^2+4y=20$$

$$\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=25$$

Это окружность с центром $$\left(1;\,-2\right)$$ и радиусом $$R=5$$.

д) $$x^2+y^2-4x-2y+1=0$$

$$x^2-4x+y^2-2y=-1$$

$$\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=4$$

Это окружность с центром $$\left(2;\,1\right)$$ и радиусом $$R=2$$.

Ответ: векторы в пунктах а) и б) коллинеарны; окружности задают уравнения а), б), г), д). Для них: а) центр $$\left(1;\,-2\right)$$, $$R=5$$; б) центр $$\left(0;\,-7\right)$$, $$R=1$$; г) центр $$\left(1;\,-2\right)$$, $$R=5$$; д) центр $$\left(2;\,1\right)$$, $$R=2$$. Уравнение в) не является уравнением окружности.