Упр.9 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Длина образующей конуса равна $$l$$, а длина окружности основания — $$c$$. Найдите объем конуса.

Пусть $$R$$ — радиус основания конуса, $$h$$ — его высота. Тогда длина окружности основания равна

$$c=2\pi R,$$

откуда

$$R=\frac{c}{2\pi}.$$

Проведём высоту $$SO$$. Тогда треугольник $$ASO$$ прямоугольный, где $$AS=l$$, $$AO=R$$. По теореме Пифагора:

$$h=SO=\sqrt{AS^2-AO^2} =\sqrt{l^2-\left(\frac{c}{2\pi}\right)^2} =\frac{\sqrt{4\pi^2l^2-c^2}}{2\pi}.$$

Площадь основания конуса:

$$S=\pi R^2=\pi\left(\frac{c}{2\pi}\right)^2=\frac{c^2}{4\pi}.$$

Теперь найдём объём конуса:

$$V=\frac13Sh =\frac13\cdot \frac{c^2}{4\pi}\cdot \frac{\sqrt{4\pi^2l^2-c^2}}{2\pi} =\frac{c^2}{24\pi^2}\sqrt{4\pi^2l^2-c^2}.$$

Ответ

$$V=\frac{c^2}{24\pi^2}\sqrt{4\pi^2l^2-c^2}.$$