Упр.9 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что четырёхугольник $$ABCD$$ с вершинами в точках $$A(1; 3; 2)$$, $$B(0; 2; 4)$$, $$C(1; 1; 4)$$, $$D(2; 2; 2)$$ является параллелограммом.

Пусть $$O$$ и $$O_1$$ — середины диагоналей $$AC$$ и $$BD$$ соответственно.

Найдём координаты точки $$O$$:

$$x_O=\frac{1+1}{2}=1,\qquad y_O=\frac{3+1}{2}=2,\qquad z_O=\frac{2+4}{2}=3$$

Значит, $$O(1;2;3)$$.

Найдём координаты точки $$O_1$$:

$$x_{O_1}=\frac{0+2}{2}=1,\qquad y_{O_1}=\frac{2+2}{2}=2,\qquad z_{O_1}=\frac{4+2}{2}=3$$

Следовательно, $$O_1(1;2;3)$$.

Итак, середины диагоналей совпадают: $$O \equiv O_1$$. Значит, диагонали четырехугольника $$ABCD$$ пересекаются и делятся этой точкой пополам. По признаку параллелограмма, $$ABCD$$ — параллелограмм.

Ответ

$$ABCD$$ — параллелограмм.