Упр.9 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: 9. Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках A (1; 3; 2), B (0; 2; 4), C (1; 1; 4), D (2; 2; 2) является параллелограммом.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ и $$O_1$$ — середины диагоналей $$AC$$ и $$BD$$ соответственно.

Найдём координаты точки $$O$$:

$$ x_O=\frac{1+1}{2}=1,\quad y_O=\frac{3+1}{2}=2,\quad z_O=\frac{2+4}{2}=3. $$

Значит, $$O(1;2;3)$$.

Найдём координаты точки $$O_1$$:

$$ x_{O_1}=\frac{0+2}{2}=1,\quad y_{O_1}=\frac{2+2}{2}=2,\quad z_{O_1}=\frac{4+2}{2}=3. $$

Следовательно, $$O_1(1;2;3)$$.

Итак, середины диагоналей совпадают: $$O \equiv O_1$$. Значит, диагонали четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются и делятся пополам.

По признаку параллелограмма, если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.