Упр.9 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что через данную точку прямой можно провести одну и только одну перпендикулярную ей плоскость.

Через прямую $$a$$ проведём две плоскости и в каждой из них построим через точку $$A$$ прямую, перпендикулярную прямой $$a$$. Обозначим эти прямые $$b$$ и $$c$$.

Через пересекающиеся прямые $$b$$ и $$c$$ можно провести плоскость $$\alpha$$. По теореме о плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, получаем, что $$\alpha \perp a$$.

Докажем единственность. Пусть через точку $$A$$ проходит ещё одна плоскость $$\alpha’$$, перпендикулярная прямой $$a$$. Возьмём точку $$B \in \alpha’$$, $$B \notin \alpha$$. Проведём через точку $$B$$ и прямую $$a$$ плоскость. Она пересечёт плоскости $$\alpha$$ и $$\alpha’$$ по прямым $$b’$$ и $$c’$$, причём $$b’ \perp a$$ и $$c’ \perp a$$.

Но в одной плоскости через данную точку к данной прямой можно провести только одну перпендикулярную прямую. Следовательно, $$b’=c’$$, что невозможно, так как точки $$B$$ и выбор плоскостей были различны. Значит, плоскость, проходящая через точку $$A$$ и перпендикулярная прямой $$a$$, единственна.

Итак, через данную точку прямой можно провести одну и только одну перпендикулярную ей плоскость.