Упр.9 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Дано: Прямая a; точка A a;
Доказать: Через точку A можно провести одну и только одну пер-
пендикулярную прямой a плоскость;
Доказательство:
1) Через прямую a проведем две плоскости и построим в них через
точку A прямые b и c, перпендикулярные прямой a;
2) Через прямые b и c проведем плоскость, по теореме 3.2 данная
плоскость перпендикулярна прямой a;
3) Пусть через точку A проходит еще одна плоскость, перпенди-
кулярная прямой a;
4) Пусть B точка плоскости, не лежащая в плоскости ?;
5) проведем через точку B и прямую a плоскость, она пересечет
плоскости и по различным прямым b и b’, перпендкулярным
прямой a, но это невозможно, так как на плоскости через данную
точку перпендикулярно данной прямой проходит только одна
перпендикулярная ей прямая;
6) Значит через точку A можно провести одну и только одну пер-
пендикулярную прямой a плоскость, что и требовалось доказать.
Проведём через прямую $$a$$ две плоскости и в каждой из них построим через точку $$A$$ прямую, перпендикулярную прямой $$a$$. Обозначим эти прямые $$b$$ и $$c$$.
Через пересекающиеся прямые $$b$$ и $$c$$ можно провести единственную плоскость $$\alpha$$. По теореме о плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, получаем, что $$\alpha \perp a$$.
Докажем единственность. Пусть через точку $$A$$ проходит ещё одна плоскость $$\alpha’$$, перпендикулярная прямой $$a$$. Возьмём точку $$B \in \alpha’$$, не лежащую в плоскости $$\alpha$$. Проведём через точку $$B$$ и прямую $$a$$ плоскость. Она пересечёт плоскости $$\alpha$$ и $$\alpha’$$ по прямым $$b’$$ и $$c’$$, причём $$b’ \perp a$$ и $$c’ \perp a$$.
Но в одной плоскости через данную точку к данной прямой можно провести только одну перпендикулярную прямую. Следовательно, получаем противоречие. Значит, другой плоскости, проходящей через точку $$A$$ и перпендикулярной прямой $$a$$, не существует.
Итак, через данную точку прямой можно провести одну и только одну перпендикулярную ей плоскость.