Упр.9 Раздел 1 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Пункт 3Даны две различные прямые, пересекающиеся в точке А. Докажите, что все прямые, пересекающие обе данные прямые и не проходящие через точку A, лежат в одной плоскости.

Подробный ответ

Проведём через пересекающиеся прямые $$a$$ и $$b$$ плоскость $$\alpha$$. Такая плоскость существует и единственна по аксиоме стереометрии.

Пусть прямая $$c$$ пересекает обе прямые $$a$$ и $$b$$ в точках $$M$$ и $$N$$ соответственно, причём $$c$$ не проходит через точку $$A$$. Тогда точки $$M$$ и $$N$$ принадлежат плоскости $$\alpha$$, так как лежат на прямых $$a$$ и $$b$$, лежащих в этой плоскости.

Следовательно, прямая $$c$$ проходит через две точки плоскости $$\alpha$$. По теореме о прямой, проходящей через две точки плоскости, получаем, что $$c \subset \alpha$$.

Значит, все прямые, пересекающие обе данные прямые и не проходящие через точку $$A$$, лежат в одной и той же плоскости $$\alpha$$.