Упр.9 Раздел 1 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны две различные прямые, пересекающиеся в точке А. Докажите, что все прямые, пересекающие обе данные прямые и не проходящие через точку А, лежат в одной плоскости.
Проведём через пересекающиеся прямые $$a$$ и $$b$$ плоскость $$\alpha$$. Она существует и единственна.
Пусть $$c$$ — произвольная прямая, пересекающая обе прямые $$a$$ и $$b$$ и не проходящая через точку $$A$$. Обозначим точки пересечения прямой $$c$$ с прямыми $$a$$ и $$b$$ через $$M$$ и $$N$$ соответственно.
Тогда точки $$M$$ и $$N$$ принадлежат плоскости $$\alpha$$, так как лежат на прямых $$a$$ и $$b$$, а эти прямые лежат в плоскости $$\alpha$$. Следовательно, прямая $$c$$ проходит через две точки плоскости $$\alpha$$.
По теореме о прямой, проходящей через две точки плоскости, получаем, что $$c \subset \alpha$$. Значит, все такие прямые лежат в одной и той же плоскости.
Ответ: все прямые, пересекающие обе данные прямые и не проходящие через точку $$A$$, лежат в одной плоскости.
