Упр.9 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Докажите, что если сумма квадратов диагоналей выпуклого четырехугольника равна сумме квадратов его сторон, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Пусть $$F$$ — середина диагонали $$AC$$, а $$E$$ — середина диагонали $$BD$$. Обозначим через $$M, K, N, P$$ середины сторон $$AB, BC, CD, AD$$ соответственно.

Тогда $$MF$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, значит

$$MF=\frac{AB}{2}, \qquad MF \parallel AB.$$

Аналогично, $$NE$$ — средняя линия треугольника $$BCD$$, поэтому

$$NE=\frac{CD}{2}, \qquad NE \parallel CD.$$

Следовательно, четырехугольник $$MFNE$$ — параллелограмм, и потому

$$FE^2+MN^2=MF^2+FN^2+NE^2+EM^2=\frac{BC^2+AD^2}{2}.$$

Аналогично, четырехугольник $$PFKE$$ — параллелограмм, откуда

$$FE^2+KP^2=PF^2+FK^2+KE^2+EP^2=\frac{AB^2+CD^2}{2}.$$

Складывая последние равенства, получаем

$$\frac{AB^2+BC^2+CD^2+AD^2}{2}=2FE^2+MN^2+KP^2.$$

Теперь рассмотрим средние линии треугольников $$ABC$$ и $$ACD$$:

$$MK=\frac{AC}{2}, \qquad PN=\frac{AC}{2}, \qquad MK \parallel AC,\quad PN \parallel AC.$$

Значит, $$MK=PN$$ и $$MK \parallel PN$$, следовательно, $$MKNP$$ — параллелограмм. Тогда

$$KP^2+MN^2=MK^2+KN^2+NP^2+PM^2=\frac{AC^2+BD^2}{2}.$$

Подставим это в предыдущее равенство:

$$\frac{AB^2+BC^2+CD^2+AD^2}{2}=2FE^2+\frac{AC^2+BD^2}{2}.$$

По условию задачи

$$AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+AD^2,$$

значит

$$2FE^2=0,$$

откуда $$FE=0.$$ Следовательно, точки $$F$$ и $$E$$ совпадают, то есть диагонали $$AC$$ и $$BD$$ делятся точкой пересечения пополам.

А значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.

Ответ

$$ABCD$$ — параллелограмм.