Упр.82 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- 5-82. Найдите двугранные углы октаэдра.
Так как все рёбра октаэдра равны, то его можно рассматривать как две равные правильные четырёхугольные пирамиды с общим основанием. Следовательно, основание $$ABCD$$ — квадрат.
Пусть $$O$$ — центр квадрата $$ABCD$$, а $$S$$ и $$S_1$$ — вершины октаэдра. Проведём $$SO \perp ABCD$$ и $$OK \perp DC$$. Тогда $$O$$ — середина квадрата, поэтому
$$OK=\frac{a}{2}.$$
Рассмотрим треугольник $$SKC$$. Он прямоугольный, так как $$SK \perp DC$$, а значит
$$SK=\sqrt{SC^2-CK^2} =\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\sqrt{\frac{3a^2}{4}} =\frac{a\sqrt3}{2}.$$
В прямоугольном треугольнике $$SOK$$
$$\cos \angle SKO=\frac{OK}{SK} =\frac{a/2}{a\sqrt3/2} =\frac{1}{\sqrt3}.$$
Так как $$SK=KS_1$$ и $$OK \perp SS_1$$, то треугольник $$SKS_1$$ равнобедренный, а искомый двугранный угол равен
$$\angle SKS_1=2\angle SKO=2\arccos\frac{1}{\sqrt3}\approx 109^\circ 28′.$$
Ответ: $$109^\circ 28’$$.
