Упр.81 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Найдите двугранные углы правильного тетраэдра.

Подробный ответ

Пусть $$E$$ — середина ребра $$AB$$. Соединим точку $$E$$ с вершинами $$C$$ и $$D$$ тетраэдра. Тогда в правильном тетраэдре грани — равносторонние треугольники, значит $$CE$$ и $$DE$$ — медианы, а следовательно, и высоты треугольников $$ABC$$ и $$ABD$$.

Линейный угол двугранного угла при ребре $$AB$$ равен углу $$\varphi=\angle CED$$.

Пусть ребро тетраэдра равно $$a$$. Тогда в равностороннем треугольнике

$$EC=ED=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

По теореме косинусов в треугольнике $$CDE$$:

$$ CD^2=EC^2+ED^2-2\cdot EC\cdot ED\cdot \cos\varphi $$
$$ a^2=\frac{3a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}-2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cos\varphi $$
$$ a^2=\frac{3a^2}{2}-\frac{3a^2}{2}\cos\varphi $$
$$ \cos\varphi=\frac{1}{3}. $$

Следовательно,

$$\varphi=\arccos\frac{1}{3}\approx 70^\circ32′.$$

Так как все двугранные углы правильного тетраэдра равны, то каждый из них равен $$70^\circ32’$$.