Упр.81 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите двугранные углы правильного тетраэдра.

Пусть $$E$$ — середина ребра $$AB$$. Соединим точку $$E$$ с вершинами $$C$$ и $$D$$ тетраэдра. Тогда $$CE$$ и $$DE$$ — медианы и высоты граней, так как грани правильного тетраэдра являются равносторонними треугольниками.

Линейный угол двугранного угла при ребре $$AB$$ равен $$\varphi=\angle CED$$.

В треугольнике $$CDE$$ по теореме косинусов:

$$CD^2=CE^2+DE^2-2\cdot CE\cdot DE\cos\varphi$$

Так как $$CD=a$$, а в равностороннем треугольнике

$$CE=DE=\frac{a\sqrt{3}}{2},$$

то

$$a^2=\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2-2\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\cos\varphi$$

$$a^2=\frac{3a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}-\frac{3a^2}{2}\cos\varphi$$

$$\cos\varphi=\frac{1}{3}.$$

Следовательно,

$$\varphi=\arccos\frac{1}{3}\approx 70^\circ32′.$$

Ответ: $$70^\circ32’$$.