Упр.80 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Докажите, что концы двух непараллельных диагоналей противолежащих граней куба являются вершинами тетраэдра.

Рассмотрим куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и две непараллельные диагонали его противоположных граней, например $$AB_1$$ и $$CD_1$$.

Соединим их концы отрезками $$AB,\; BC,\; CD,\; DA,\; A_1B_1,\; B_1C_1,\; C_1D_1,\; D_1A_1$$ и самими диагоналями $$AB_1$$ и $$CD_1$$.

Так как грани куба — равные квадраты, то диагонали этих граней равны и лежат в разных плоскостях. Четыре точки $$A,\; B_1,\; C,\; D_1$$ не лежат в одной плоскости, а отрезки между ними образуют шесть рёбер:

$$AB_1,\; B_1C,\; CD_1,\; D_1A,\; AC,\; B_1D_1.$$

Следовательно, фигура с вершинами $$A,\; B_1,\; C,\; D_1$$ является тетраэдром.

Значит, концы двух непараллельных диагоналей противоположных граней куба являются вершинами тетраэдра.