Упр.80 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что концы двух непараллельных диагоналей противолежащих граней куба являются вершинами тетраэдра.

Рассмотрим две непараллельные диагонали противоположных граней куба, например $$AB_1$$ и $$CD_1$$.

Соединим их концы отрезками $$AB,\; BC,\; CD,\; DA,\; B_1C,\; D_1A,\; B_1D_1,\; AC$$. Получим четырёхугольник с вершинами $$A,\; B_1,\; C,\; D_1$$.

Так как грани куба — равные квадраты, то диагонали этих граней равны, значит

$$AB_1=BC=CD=D_1A,$$

а также

$$AB_1\parallel CD_1$$

не выполняется, то есть выбранные диагонали непараллельны.

Следовательно, фигура $$AB_1CD_1$$ имеет 4 вершины и 6 рёбер, то есть является тетраэдром. Значит, концы двух непараллельных диагоналей противоположных граней куба являются вершинами тетраэдра.