Упр.8 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Осевым сечением конуса является равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого 9 м2. Найдите объем конуса.

Подробный ответ

Рассмотрим осевое сечение конуса $$\triangle ASB$$. По условию оно является равнобедренным прямоугольным, значит $$\angle ASB=90^\circ$$ и $$AS=SB$$.

Пусть $$SO$$ — высота конуса, тогда $$SO\perp AB$$. В равнобедренном треугольнике высота из вершины является также медианой и биссектрисой, поэтому $$AO=OB=R$$, где $$R$$ — радиус основания конуса.

Тогда в прямоугольном треугольнике $$\triangle ASO$$ угол $$\angle ASO=45^\circ$$, следовательно, $$SO=AO=R$$. Обозначим $$SO=h$$, тогда $$h=R$$.

Площадь осевого сечения равна

$$ S_{\triangle ASB}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot SO =\frac{1}{2}\cdot 2R\cdot h =Rh. $$

По условию $$S_{\triangle ASB}=9\text{ м}^2$$, а так как $$h=R$$, получаем

$$ R^2=9,\qquad R=3\text{ м},\qquad h=3\text{ м}. $$

Теперь найдём объём конуса:

$$ V=\frac{1}{3}\pi R^2h =\frac{1}{3}\pi\cdot 9\cdot 3 =9\pi\text{ м}^3. $$