Упр.8 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Осевым сечением конуса является равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого $$9\ \text{м}^2$$. Найдите объем конуса.

Подробный ответ

Рассмотрим осевое сечение конуса $$\triangle ASB$$. По условию оно является равнобедренным прямоугольным, значит $$\angle ASB=90^\circ$$ и $$AS=SB$$.

Пусть $$SO$$ — высота конуса, тогда $$SO\perp AB$$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой, поэтому $$AO=OB=R$$, где $$R$$ — радиус основания конуса.

Треугольник $$ASB$$ прямоугольный, а $$SO$$ — высота к гипотенузе $$AB$$. Тогда площадь осевого сечения:

$$S_{ASB}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot SO =\frac{1}{2}\cdot 2R\cdot h =Rh.$$

По условию $$S_{ASB}=9\text{ м}^2$$, а в равнобедренном прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе равна половине гипотенузы, то есть $$h=R$$. Следовательно,

$$Rh=R^2=9,$$

откуда $$R=3\text{ м}$$ и $$h=3\text{ м}$$.

Теперь найдём объём конуса:

$$V=\frac{1}{3}\pi R^2h =\frac{1}{3}\pi\cdot 3^2\cdot 3 =9\pi\text{ м}^3.$$

Ответ: $$9\pi\text{ м}^3$$.