Упр.8 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Измерения прямоугольного бруска 3 см, 4 см, 5 см. Если увеличить каждое ребро на x сантиметров, то поверхность увеличится на 54 см2. Как увеличится объем?
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $$3$$ см, $$4$$ см и $$5$$ см равна
$$S=2(ab+bc+ac)=2(3\cdot 4+4\cdot 5+3\cdot 5)=2(12+20+15)=94\text{ см}^2.$$
После увеличения каждого ребра на $$x$$ см получим рёбра $$3+x$$, $$4+x$$ и $$5+x$$. Тогда новая площадь поверхности:
$$S_1=2\big((3+x)(4+x)+(4+x)(5+x)+(3+x)(5+x)\big).$$
По условию она увеличилась на $$54\text{ см}^2$$, значит
$$S_1=S+54=94+54=148.$$
Раскроем скобки:
$$ 2\big((3+x)(4+x)+(4+x)(5+x)+(3+x)(5+x)\big)=148 $$
$$ 2\big((12+7x+x^2)+(20+9x+x^2)+(15+8x+x^2)\big)=148 $$
$$ 2(47+24x+3x^2)=148 $$
$$ 6x^2+48x+94=148 $$
$$ x^2+8x-9=0. $$
Решаем квадратное уравнение:
$$ x=\frac{-8\pm\sqrt{64+36}}{2}=\frac{-8\pm 10}{2}. $$
Получаем $$x=1$$ или $$x=-9$$. Значение $$x=-9$$ не подходит, так как рёбра не могут стать отрицательными. Значит, $$x=1$$.
Теперь найдём, как изменится объём:
$$V=3\cdot 4\cdot 5=60\text{ см}^3,$$
$$V_1=(3+1)(4+1)(5+1)=4\cdot 5\cdot 6=120\text{ см}^3.$$
Следовательно,
$$\frac{V_1}{V}=\frac{120}{60}=2.$$
Значит, объём увеличится в $$2$$ раза.
Ответ
Увеличится вдвое.