Упр.8 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Высота цилиндра $$2\ \text{м}$$. Радиус оснований $$7\ \text{м}$$. В этот цилиндр наклонно вписан квадрат так, что все вершины его лежат на окружностях оснований. Найдите сторону квадрата (рис. 156).
Пусть $$ABCD$$ — данный квадрат, причём $$AD$$ лежит на верхнем основании цилиндра, а $$BC$$ — на нижнем.
Опустим перпендикуляры $$BB_1$$ и $$CC_1$$ к плоскости основания цилиндра. Тогда $$B_1A \perp AD$$ и $$C_1D \perp AD$$, значит, $$AB_1C_1D$$ — прямоугольник. Отсюда $$AD=B_1C_1$$.
Так как вершины квадрата лежат на окружностях оснований цилиндра, то диагональ $$AC_1$$ является диаметром окружности основания:
$$AC_1=2r=14\text{ м}.$$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ADC_1$$ и $$DCC_1$$. В них:
$$DC_1^2=DC^2+CC_1^2,$$
а также
$$AC_1^2=AD^2+DC_1^2.$$
Так как $$DC=AD$$, а высота цилиндра $$CC_1=2\text{ м}$$, получаем:
$$14^2=AD^2+\left(AD^2+2^2\right).$$
Тогда
$$196=2AD^2+4,$$
$$2AD^2=192,$$
$$AD^2=96.$$
Следовательно,
$$AD=\sqrt{96}=4\sqrt{6}\text{ м}.$$
Ответ: $$4\sqrt{6}\text{ м}.$$
