Упр.8 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Через вершину острого угла прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C проведена прямая AD, перпендикулярная плоскости треугольника. Найдите расстояния от точки D до вершин B и С, если AC = а, BC = b, AD = с.

Так как $$AD \perp (ABC),$$ то прямая $$AD$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$ABC,$$ проходящей через точку $$A.$$ Следовательно,

$$AD \perp AC,\qquad AD \perp AB.$$

Тогда треугольник $$CAD$$ прямоугольный, и по теореме Пифагора

$$DC=\sqrt{AD^2+AC^2}=\sqrt{c^2+a^2}.$$

Найдём сначала гипотенузу $$AB$$ прямоугольного треугольника $$ABC$$:

$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$DAB$$:

$$DB=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{c^2+\left(a^2+b^2\right)}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$$

Ответ

$$DB=\sqrt{a^2+b^2+c^2},\qquad DC=\sqrt{a^2+c^2}.$$