Упр.8 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны параллелограмм $$ABCD$$ и не пересекающая его плоскость. Через вершины параллелограмма проведены параллельные прямые, пересекающие данную плоскость в точках $$A_1, B_1, C_1, D_1$$ (рис. 31). Найдите длину отрезка $$DD_1$$, если:
   1) $$AA_1=2\ \text{м},\ BB_1=3\ \text{м},\ CC_1=8\ \text{м}$$;
   2) $$AA_1=4\ \text{м},\ BB_1=3\ \text{м},\ CC_1=1\ \text{м}$$;
   3) $$AA_1=a,\ BB_1=b,\ CC_1=c$$.

Пусть $$M$$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $$ABCD$$. Проведём через неё прямую, параллельную всем данным прямым, и обозначим точку её пересечения с плоскостью $$\alpha$$ через $$M_1$$.

Четырёхугольники $$ACC_1A_1$$ и $$BDD_1B_1$$ — трапеции, поэтому $$MM_1$$ является их средней линией. Тогда

$$MM_1=\frac{1}{2}(AA_1+CC_1)=\frac{1}{2}(BB_1+DD_1).$$

Отсюда

$$AA_1+CC_1=BB_1+DD_1,$$

значит

$$DD_1=AA_1+CC_1-BB_1.$$

Теперь подставим данные:

1. $$DD_1=2+8-3=7\text{ м}.$$
2. $$DD_1=4+1-3=2\text{ м}.$$
3. $$DD_1=a+c-b.$$

Ответ: 1) $$7\text{ м}$$; 2) $$2\text{ м}$$; 3) $$a+c-b$$.