Упр.8 Раздел 1 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Даны две непересекающиеся плоскости. Докажите, что прямая, пересекающая одну из этих плоскостей, пересекает и другую (рис. 11).

Пусть прямая $$l$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ в точке $$A$$.

Возьмём любую точку $$B$$, лежащую в плоскости $$\beta$$. По теореме о проведении плоскости через прямую и точку, не лежащую на этой прямой, через прямую $$l$$ и точку $$B$$ можно провести единственную плоскость $$\gamma$$.

Плоскость $$\gamma$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ по прямой $$k_1$$, а плоскость $$\beta$$ — по прямой $$k_2$$. При этом прямые $$k_1$$ и $$k_2$$ проходят через точки $$A$$ и $$B$$ соответственно.

Так как плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ не пересекаются, то прямые $$k_1$$ и $$k_2$$ не имеют общих точек. Но они лежат в одной плоскости $$\gamma$$, значит, $$k_1 \parallel k_2$$.

Прямая $$l$$ пересекает прямую $$k_1$$, следовательно, она пересекает и параллельную ей прямую $$k_2$$. А так как $$k_2 \subset \beta$$, то прямая $$l$$ пересекает плоскость $$\beta$$.

Что и требовалось доказать.