Упр.8 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите выражения для сторон треугольника через его медианы.

Пусть стороны треугольника равны $$a,\; b,\; c,$$ а медианы, проведённые к этим сторонам, равны соответственно $$m_a,\; m_b,\; m_c.$$

Из формулы для медианы треугольника имеем:

$$m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2},\qquad m_b=\frac12\sqrt{2a^2+2c^2-b^2},\qquad m_c=\frac12\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}.$$

Возведём равенства в квадрат:

$$4m_a^2=2b^2+2c^2-a^2,$$
$$4m_b^2=2a^2+2c^2-b^2,$$
$$4m_c^2=2a^2+2b^2-c^2.$$

Сложим второе и третье уравнения:

$$4m_b^2+4m_c^2=4a^2+2b^2+2c^2.$$

Вычтем из полученного равенства первое:

$$4m_b^2+4m_c^2-4m_a^2=5a^2,$$
откуда
$$a=\frac{2}{\sqrt5}\sqrt{m_b^2+m_c^2-m_a^2}.$$

Аналогично получаем:

$$b=\frac{2}{\sqrt5}\sqrt{m_a^2+m_c^2-m_b^2},$$
$$c=\frac{2}{\sqrt5}\sqrt{m_a^2+m_b^2-m_c^2}.$$

Ответ:
$$a=\frac{2}{\sqrt5}\sqrt{m_b^2+m_c^2-m_a^2},\quad b=\frac{2}{\sqrt5}\sqrt{m_a^2+m_c^2-m_b^2},\quad c=\frac{2}{\sqrt5}\sqrt{m_a^2+m_b^2-m_c^2}.$$