Упр.79 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что центры граней куба являются вершинами октаэдра, а центры граней октаэдра являются вершинами куба.

Обозначим через $$O_1,O_2,\dots,O_6$$ центры граней куба. Так как каждая грань куба — квадрат, то эти точки являются серединами диагоналей соответствующих граней.

Рассмотрим две соседние грани куба. Расстояние между их центрами равно

$$O_1O_2=\sqrt{\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac a2\right)^2} =\sqrt{\frac{a^2}{2}}=\frac{a}{\sqrt2}.$$

Аналогично, расстояния между центрами любых соседних граней одинаковы. Значит, все рёбра фигуры, вершинами которой являются точки $$O_1,O_2,\dots,O_6,$$ равны между собой.

Каждая грань куба граничит с четырьмя другими гранями, поэтому между центрами граней можно провести

$$\frac{6\cdot 4}{2}=12$$

равных отрезков. Тогда полученная фигура имеет $$6$$ вершин и $$12$$ рёбер. По формуле Эйлера

$$V-E+F=2,$$

получаем

$$6-12+F=2,\qquad F=8.$$

Следовательно, фигура с вершинами в центрах граней куба — октаэдр.

Обратно, пусть $$O_1,O_2,\dots,O_8$$ — центры граней октаэдра. Каждая грань октаэдра — треугольник, и каждая грань граничит с тремя другими. Поэтому между центрами соседних граней можно провести

$$\frac{8\cdot 3}{2}=12$$

равных отрезков. Значит, все рёбра фигуры, вершинами которой являются эти точки, равны.

Тогда полученная фигура имеет $$8$$ вершин и $$12$$ рёбер. По формуле Эйлера

$$8-12+F=2,\qquad F=6.$$

Следовательно, эта фигура — куб.

Ответ: центры граней куба являются вершинами октаэдра, а центры граней октаэдра являются вершинами куба.