Упр.79 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Докажите, что центры граней куба являются вершинами октаэдра, а центры граней октаэдра являются вершинами куба.

Подробный ответ

Обозначим центры граней куба через $$O_1, O_2, \ldots, O_6$$. Так как каждая грань куба — квадрат, то центр грани совпадает с точкой пересечения её диагоналей.

Рассмотрим две соседние грани куба со сторонами $$a$$. Расстояние между их центрами равно

$$ O_1O_2=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\sqrt{2\cdot \frac{a^2}{4}} =\frac{a}{\sqrt{2}}. $$

Аналогично, для любых центров соседних граней получаем одно и то же расстояние. Значит, все рёбра фигуры, вершинами которой являются центры граней куба, равны.

Каждая грань куба граничит с четырьмя другими гранями, поэтому каждая вершина полученной фигуры соединяется с четырьмя другими вершинами. Всего таких соединений будет

$$ \frac{6\cdot 4}{2}=12. $$

По формуле Эйлера для выпуклого многогранника

$$ V-E+F=2, $$

где $$V=6$$, $$E=12$$. Тогда

$$ 6-12+F=2,\qquad F=8. $$

Полученная фигура имеет $$6$$ вершин, $$12$$ рёбер и $$8$$ граней, то есть это октаэдр. Следовательно, центры граней куба являются вершинами октаэдра.

Обратно, пусть $$O_1, O_2, \ldots, O_8$$ — центры граней октаэдра. Каждая грань октаэдра — треугольник, и каждая грань граничит с тремя другими гранями. Поэтому между центрами соседних граней можно провести

$$ \frac{8\cdot 3}{2}=12 $$

равных отрезков.

Значит, у полученной фигуры $$8$$ вершин и $$12$$ рёбер. По формуле Эйлера

$$ 8-12+F=2,\qquad F=6. $$

Итак, полученная фигура имеет $$8$$ вершин, $$12$$ рёбер и $$6$$ граней, то есть это куб. Следовательно, центры граней октаэдра являются вершинами куба.