Упр.78 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Найдите полную поверхность правильной усечённой пирамиды: 1) треугольной; 2) четырёхугольной; 3) шестиугольной, если высота $$h$$, а стороны оснований $$a$$ и $$b$$.

Пусть $$r$$ и $$r_1$$ — радиусы вписанных окружностей в нижнее и верхнее основания усечённой правильной пирамиды. Тогда в сечении через ось и середины соответствующих сторон получаем прямоугольный треугольник, в котором апофема усечённой пирамиды равна

$$l=\sqrt{h^2+(r-r_1)^2}.$$

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды:

$$S_{\text{бок}}=\frac12(P+P_1)l,$$

где $$P$$ и $$P_1$$ — периметры оснований. Тогда полная поверхность

$$S=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}.$$

а) Треугольная усечённая пирамида

Для правильного треугольника

$$S_1=\frac{a^2\sqrt3}{4},\qquad S_2=\frac{b^2\sqrt3}{4},$$

$$r=\frac{a\sqrt3}{6},\qquad r_1=\frac{b\sqrt3}{6},$$

$$P=3a,\qquad P_1=3b.$$

Тогда

$$l=\sqrt{h^2+\left(\frac{a\sqrt3}{6}-\frac{b\sqrt3}{6}\right)^2} =\sqrt{h^2+\frac{(a-b)^2}{12}}.$$

Следовательно,

$$S=\frac{a^2\sqrt3}{4}+\frac{b^2\sqrt3}{4}+\frac12(3a+3b)\sqrt{h^2+\frac{(a-b)^2}{12}}.$$

После преобразования получаем

$$S=\frac{\sqrt3}{4}(a^2+b^2)+\frac{a+b}{4}\sqrt{12h^2+(a-b)^2}.$$

б) Четырёхугольная усечённая пирамида

Для квадрата

$$S_1=a^2,\qquad S_2=b^2,$$

$$r=\frac a2,\qquad r_1=\frac b2,$$

$$P=4a,\qquad P_1=4b.$$

Тогда

$$l=\sqrt{h^2+\left(\frac a2-\frac b2\right)^2} =\sqrt{h^2+\frac{(a-b)^2}{4}}.$$

Следовательно,

$$S=a^2+b^2+\frac12(4a+4b)\sqrt{h^2+\frac{(a-b)^2}{4}}.$$

То есть

$$S=a^2+b^2+(a+b)\sqrt{4h^2+(a-b)^2}.$$

в) Шестиугольная усечённая пирамида

Для правильного шестиугольника

$$S_1=6\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4},\qquad S_2=6\cdot\frac{b^2\sqrt3}{4},$$

$$r=\frac{a\sqrt3}{2},\qquad r_1=\frac{b\sqrt3}{2},$$

$$P=6a,\qquad P_1=6b.$$

Тогда

$$l=\sqrt{h^2+\left(\frac{a\sqrt3}{2}-\frac{b\sqrt3}{2}\right)^2} =\sqrt{h^2+\frac{3(a-b)^2}{4}}.$$

Следовательно,

$$S=6\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}+6\cdot\frac{b^2\sqrt3}{4}+\frac12(6a+6b)\sqrt{h^2+\frac{3(a-b)^2}{4}}.$$

После упрощения:

$$S=\frac23\left(\sqrt3\,(a^2+b^2)+(a+b)\sqrt{4h^2+3(a-b)^2}\right).$$

Ответ:

1) $$S=\frac{\sqrt3}{4}(a^2+b^2)+\frac{a+b}{4}\sqrt{12h^2+(a-b)^2};$$

2) $$S=a^2+b^2+(a+b)\sqrt{4h^2+(a-b)^2};$$

3) $$S=\frac23\left(\sqrt3\,(a^2+b^2)+(a+b)\sqrt{4h^2+3(a-b)^2}\right).$$