Упр.77 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- 5-77. В правильной четырехугольной усечённой пирамиде стороны оснований $$8\ \text{м}$$ и $$2\ \text{м}$$. Высота равна $$4\ \text{м}$$. Найдите полную поверхность.
Пусть $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$ — основания правильной усечённой четырёхугольной пирамиды. Тогда $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$ — квадраты со сторонами $$8$$ м и $$2$$ м.
Проведём ось усечённой пирамиды $$OO_1$$. Тогда точки $$O$$ и $$O_1$$ — центры квадратов $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$.
Пусть $$K$$ и $$K_1$$ — середины сторон $$AD$$ и $$A_1D_1$$. Тогда
$$OK=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\cdot 8=4\text{ м},$$
$$O_1K_1=\frac{1}{2}A_1B_1=\frac{1}{2}\cdot 2=1\text{ м}.$$
Опустим из $$K_1$$ перпендикуляр на $$KO$$ и обозначим точку пересечения через $$H$$. Тогда $$K_1O_1OH$$ — прямоугольник, поэтому
$$OH=O_1K_1=1\text{ м},$$
$$KH=KO-OH=4-1=3\text{ м}.$$
В прямоугольном треугольнике $$KK_1H$$ имеем
$$KK_1=\sqrt{KH^2+K_1H^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{ м}.$$
Это апофема усечённой пирамиды.
Тогда боковая поверхность равна
$$S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}(P_1+P_2)l=\frac{1}{2}(4\cdot 8+4\cdot 2)\cdot 5=100\text{ м}^2,$$
где $$P_1=4\cdot 8$$ и $$P_2=4\cdot 2$$ — периметры оснований.
Площадь двух оснований:
$$S_{\text{осн}}=8^2+2^2=64+4=68\text{ м}^2.$$
Следовательно, полная поверхность усечённой пирамиды:
$$S=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}=100+68=168\text{ м}^2.$$
Ответ: $$168\text{ м}^2$$.
