Упр.76 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- 5-76. В правильной треугольной усечённой пирамиде сторона нижнего основания $$8\ \text{м}$$, верхнего — $$5\ \text{м}$$, а высота $$3\ \text{м}$$. Проведите сечение через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания. Найдите площадь сечения и двугранный угол между сечением и нижним основанием (рис. 122).
Искомое сечение — треугольник $$A_1BC$$, так как точки $$B$$ и $$A_1$$, а также $$C$$ и $$A_1$$ лежат в боковых гранях усечённой пирамиды.
Пусть $$O$$ и $$O_1$$ — центры окружностей, описанных около оснований $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$. Тогда $$OO_1$$ — ось усечённой пирамиды, а значит, $$OO_1 \perp (ABC)$$.
Найдём радиусы описанных окружностей оснований. Так как основания — равносторонние треугольники, то
$$AO=\frac{AB\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}, \qquad A_1O_1=\frac{A_1B_1\sqrt{3}}{3}=\frac{5\sqrt{3}}{3}.$$
Опустим высоту $$AH \perp BC$$. В равностороннем треугольнике $$ABC$$
$$AH=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}.$$
Линейный угол двугранного угла между сечением и основанием — это угол $$\angle A_1HA$$, где $$H \in BC$$ и $$AH \perp BC$$. Проведём $$A_1K \perp AH$$. Тогда $$A_1O_1OK$$ — прямоугольник, откуда
$$A_1O_1=KO,\qquad AK=AO-KO=\frac{8\sqrt{3}}{3}-\frac{5\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}.$$
Следовательно,
$$KH=AH-AK=4\sqrt{3}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}.$$
В прямоугольном треугольнике $$A_1KH$$
$$\ctg \angle A_1HK=\frac{KH}{A_1K}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3},$$
значит,
$$\angle A_1HK=30^\circ.$$
Теперь найдём сторону $$A_1H$$:
$$A_1H=\sqrt{A_1K^2+KH^2}=\sqrt{3^2+(3\sqrt{3})^2}=6.$$
Тогда площадь сечения равна
$$S_{A_1BC}=\frac{1}{2}\cdot BC \cdot A_1H=\frac{1}{2}\cdot 8 \cdot 6=24.$$
Ответ: $$24\ \text{м}^2$$, $$30^\circ$$.
