Упр.76 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: B правильной треугольной усеченной пирамиде сторона нижнего основания 8 м, верхнего — 5 м, а высота 3 м. Проведите сечение через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания. Найдите площадь сечения и двугранный угол между сечением и нижним основанием (рис. 122).

Подробный ответ

Сечение проходит через сторону нижнего основания $$BC$$ и противоположную вершину верхнего основания $$A_1$$, значит искомое сечение — треугольник $$A_1BC$$.

Проведём ось усечённой пирамиды $$OO_1$$. Тогда $$OO_1 \perp (ABC)$$, а точки $$O$$ и $$O_1$$ — центры окружностей, описанных около равносторонних треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$.

Найдём радиусы этих окружностей:

$$ AO=\frac{AB\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}, \qquad A_1O_1=\frac{A_1B_1\sqrt{3}}{3}=\frac{5\sqrt{3}}{3}. $$

Опустим высоту $$AH \perp BC$$. Так как $$ABC$$ — равносторонний треугольник, то

$$ AH=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}. $$

По теореме о трёх перпендикулярах угол $$\angle A_1HA$$ является линейным углом двугранного угла между сечением и нижним основанием.

Проведём $$A_1K \perp AH$$. Тогда $$A_1O_1OK$$ — прямоугольник, откуда

$$ A_1O_1=KO,\qquad AK=AO-KO=\frac{8\sqrt{3}}{3}-\frac{5\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}. $$

Следовательно,

$$ KH=AH-AK=4\sqrt{3}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}. $$

В прямоугольном треугольнике $$A_1KH$$ имеем

$$ \tan \angle A_1HK=\frac{KH}{A_1K}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}, $$

значит