Упр.74 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 5-74. В правильной усечённой треугольной пирамиде сторона большего основания $$a$$, сторона меньшего — $$b$$. Боковое ребро образует с основанием угол $$45^\circ$$. Найдите площадь сечения, проходящего через боковое ребро и ось пирамиды.

Пусть $$ABC A_1B_1C_1$$ — правильная усечённая треугольная пирамида. Обозначим через $$O$$ и $$O_1$$ центры оснований, а через $$S$$ — вершину полной пирамиды, из которой получена усечённая.

Проведём $$SO \perp ABC$$. Тогда $$O_1$$ лежит на оси пирамиды, а точки $$O$$ и $$O_1$$ — центры описанных окружностей около равносторонних треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$.

Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности равен $$R=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$$, поэтому

$$AO=\frac{a\sqrt{3}}{3}, \qquad A_1O_1=\frac{b\sqrt{3}}{3}.$$

Пусть $$K$$ — основание перпендикуляра из $$A_1$$ на $$AO$$. Тогда $$A_1O_1OK$$ — прямоугольник, откуда

$$A_1K=KO=A_1O_1=\frac{b\sqrt{3}}{3},$$

а

$$AK=AO-KO=\frac{a\sqrt{3}}{3}-\frac{b\sqrt{3}}{3}=\frac{(a-b)\sqrt{3}}{3}.$$

По условию боковое ребро образует с основанием угол $$45^\circ$$, значит $$\angle AA_1K=45^\circ$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$AA_1K$$

$$A_1K=AK=\frac{(a-b)\sqrt{3}}{3}.$$

В равносторонних треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ высоты равны

$$AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}, \qquad A_1H_1=\frac{b\sqrt{3}}{2}.$$

Сечение плоскостью, проходящей через боковое ребро и ось пирамиды, — трапеция $$AA_1H_1H$$. Тогда её площадь равна

$$S=\frac{AH+A_1H_1}{2}\cdot A_1K =\frac{1}{2}\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}+\frac{b\sqrt{3}}{2}\right)\cdot \frac{(a-b)\sqrt{3}}{3}.$$

Упростим:

$$S=\frac{1}{2}\cdot \frac{(a+b)\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{(a-b)\sqrt{3}}{3} =\frac{1}{4}(a^2-b^2).$$

Ответ: $$\frac{1}{4}(a^2-b^2)$$.