Упр.73 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 5-73. Стороны оснований усечённой правильной треугольной пирамиды — $$2\text{ см}$$ и $$6\text{ см}$$. Боковая грань образует с большим основанием угол $$60^\circ$$. Найдите высоту.

Достроим усечённую правильную треугольную пирамиду до полной пирамиды $$SABC$$. Пусть $$SO\perp ABC$$, тогда точка $$O$$ — центр вписанной окружности в основании $$ABC$$, а точка пересечения $$SO$$ с плоскостью верхнего основания $$A_1B_1C_1$$ — это центр $$O_1$$ вписанной окружности треугольника $$A_1B_1C_1$$.

Пусть $$K$$ и $$K_1$$ — точки касания соответствующих вписанных окружностей со стороной $$AC$$ и $$A_1C_1$$. Тогда $$SK\perp AC$$ и $$SK_1\perp A_1C_1$$.

Найдём радиусы вписанных окружностей оснований:

$$OK=\frac{AB\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}\text{ см},$$
$$O_1K_1=\frac{A_1B_1\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}\text{ см}.$$

Проведём $$K_1H\perp KO$$. Тогда $$K_1O_1OH$$ — прямоугольник, значит $$K_1H=OO_1$$, то есть $$K_1H$$ равна высоте усечённой пирамиды.

Линейный угол двугранного угла между боковой гранью и большим основанием равен $$60^\circ$$, поэтому в прямоугольном треугольнике $$KK_1H$$ имеем:

$$\angle K_1KH=60^\circ,$$
$$KH=KO-OH=KO-O_1K_1=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.$$

Тогда

$$\tan 60^\circ=\frac{K_1H}{KH},$$
$$K_1H=KH\cdot \tan 60^\circ=\frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}=2\text{ см}.$$

Ответ: $$2\text{ см}$$.