Упр.72 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: B правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота равна 2 см, а стороны оснований 3 см и 5 см. Найдите диагональ этой пирамиды.

Обозначим данную правильную четырёхугольную усечённую пирамиду через $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$, где $$ABCD$$ — нижнее основание, а $$A_1B_1C_1D_1$$ — верхнее.

Рассмотрим четырёхугольник $$AA_1C_1C$$. Так как основания пирамиды параллельны, то $$AC \parallel A_1C_1$$, а боковые рёбра равны, значит $$AA_1 = CC_1$$. Следовательно, $$AA_1C_1C$$ — равнобедренная трапеция.

Диагонали квадратов оснований равны:

$$ A_1C_1 = A_1B_1\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\text{ см}, \qquad AC = AB\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\text{ см}. $$

Проведём перпендикуляры $$A_1K$$ и $$CH$$ к плоскости $$ABCD$$. Тогда $$A_1KHC_1$$ — прямоугольник, причём $$A_1K = CH = 2\text{ см}$$.

Из прямоугольных треугольников $$\triangle AA_1K$$ и $$\triangle CC_1H$$ получаем:

$$ AK = CH = \frac{AC — A_1C_1}{2} = \frac{5\sqrt{2} — 3\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\text{ см}. $$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle A_1CK$$:

$$ CK = AC — AK = 5\sqrt{2} — \sqrt{2} = 4\sqrt{2}\text{ см}. $$

Тогда диагональ усечённой пирамиды равна:

$$ A_1C = \sqrt{A_1K^2 + CK^2} = \sqrt{2^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 32} = \sqrt{36} = 6\text{ см}. $$

Ответ

$$6\text{ см}$$