Упр.71 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Стороны оснований правильной усечённой треугольной пирамиды $$4\ \text{дм}$$ и $$1\ \text{дм}$$. Боковое ребро $$2\ \text{дм}$$. Найдите высоту пирамиды.

Достроим усечённую правильную треугольную пирамиду до полной пирамиды $$SABC$$. Пусть $$SO\perp ABC$$, а плоскость $$A_1B_1C_1$$ пересекает высоту в точке $$O_1$$. Тогда $$O$$ и $$O_1$$ — центры описанных окружностей треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$.

Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности равен $$R=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$$, значит

$$AO=R_1=\frac{4\sqrt{3}}{3}, \qquad A_1O_1=R_2=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Так как $$AO \parallel A_1O_1$$ и $$OO_1\perp AO$$, то четырёхугольник $$AA_1O_1O$$ — прямоугольная трапеция. Проведём $$A_1K\perp AO$$. Тогда $$A_1O_1OK$$ — прямоугольник, откуда

$$KO=A_1O_1=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AA_1K$$ имеем

$$AK=AO-KO=\frac{4\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}.$$

По теореме Пифагора:

$$A_1K=\sqrt{AA_1^2-AK^2}=\sqrt{2^2-3}=1.$$

Следовательно, высота усечённой пирамиды равна $$1$$ дм.

Ответ

$$1\text{ дм}$$