Упр.71 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды 4 дм и 1 дм. Боковое ребро 2 дм. Найдите высоту пирамиды.

Достроим усечённую правильную треугольную пирамиду до полной пирамиды $$SABC$$. Пусть $$SO \perp ABC$$, а плоскость $$A_1B_1C_1$$ пересекает высоту $$SO$$ в точке $$O_1$$. Тогда точки $$O$$ и $$O_1$$ — центры описанных окружностей около равносторонних треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$.

Найдём радиусы этих окружностей:

$$AO=R_1=\frac{AB\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\ \text{дм},$$

$$A_1O_1=R_2=\frac{A_1B_1\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\ \text{дм}.$$

Так как $$AO \parallel A_1O_1$$ и $$OO_1 \perp AO$$, то четырёхугольник $$AA_1O_1O$$ — прямоугольная трапеция.

Проведём $$A_1K \perp AO$$. Тогда $$A_1O_1OK$$ — прямоугольник, откуда

$$KO=A_1O_1=\frac{\sqrt{3}}{3}\ \text{дм}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AA_1K$$ имеем

$$AK=AO-KO=\frac{4\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}\ \text{дм}.$$

Теперь по теореме Пифагора в треугольнике $$AA_1K$$:

$$A_1K=\sqrt{AA_1^2-AK^2}=\sqrt{2^2-3}=1\ \text{дм}.$$

Следовательно, высота усечённой пирамиды равна $$1$$ дм.

Ответ

$$1\ \text{дм}$$