Упр.71 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

При каком условии плоскость, заданная уравнением $$ax+by+cz+d=0$$:

1. параллельна оси $$z$$;
2. проходит через ось $$z$$;
3. перпендикулярна плоскости $$xz$$?

Пусть плоскость задана уравнением $$ax+by+cz+d=0.$$

1. Чтобы плоскость была параллельна оси $$z$$, прямая $$x=0,\ y=0$$ не должна иметь с ней общих точек. Подставим координаты точек оси $$z$$: $$x=0,\ y=0,\ z$$ — любое.

   Тогда получаем уравнение $$cz+d=0.$$

   Оно не должно иметь решений по $$z$$, значит, $$c=0$$ и $$d\ne 0$$.

2. Чтобы плоскость проходила через ось $$z$$, все точки оси $$z$$ должны удовлетворять её уравнению.

   При $$x=0,\ y=0$$ имеем $$cz+d=0$$ для любого $$z$$. Это возможно только при $$c=0$$ и $$d=0$$.

3. Чтобы плоскость была перпендикулярна плоскости $$xz$$, её нормаль $$\vec n=(a,b,c)$$ должна быть перпендикулярна нормали плоскости $$xz$$, то есть вектору $$\vec m=(0,1,0).$$

   Тогда

   $$\vec n\cdot \vec m=b=0.$$

Ответ: 1) $$c=0,\ d\ne 0$$; 2) $$c=0,\ d=0$$; 3) $$b=0$$.