Упр.71 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: При каком условии плоскость, заданная уравнением ах + by + cz + d = 0: 1) параллельна оси z; 2) проходит через ось z; 3) перпендикулярна плоскости xz?

Подробный ответ

Плоскость $$ax+by+cz+d=0$$ имеет нормальный вектор $$\vec n=(a,b,c)$$.

1) Плоскость параллельна оси $$z$$. Тогда направление оси $$z$$, то есть вектор $$\vec k=(0,0,1)$$, лежит в плоскости. Следовательно, он перпендикулярен нормали:

$$\vec n\cdot \vec k=c=0.$$

Чтобы плоскость не совпадала с осью $$z$$ и не содержала её, нужно $$d\ne 0$$.

Итак, $$c=0,\ d\ne 0.$$

2) Плоскость проходит через ось $$z$$. Тогда все точки оси $$z$$ вида $$A(0,0,z)$$ принадлежат плоскости. Подставим их в уравнение:

$$a\cdot 0+b\cdot 0+c z+d=0,$$

то есть

$$cz+d=0$$

для любого $$z$$. Это возможно только при

$$c=0,\ d=0.$$

3) Плоскость перпендикулярна плоскости $$xz$$. Нормаль к плоскости $$xz$$ направлена вдоль оси $$y$$, то есть равна $$\vec m=(0,1,0)$$. Если плоскости перпендикулярны, то их нормали взаимно перпендикулярны:

$$\vec n\cdot \vec m=b=0.$$

Значит, условие перпендикулярности: $$b=0.$$