Упр.70 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- 5-70. Высота правильной четырехугольной усечённой пирамиды равна $$7\ \text{см}$$. Стороны оснований равны $$10\ \text{см}$$ и $$2\ \text{см}$$. Найдите боковое ребро пирамиды.
Пусть $$ABCD A_1B_1C_1D_1$$ — данная правильная усечённая четырёхугольная пирамида. Тогда основания — квадраты со сторонами $$10$$ см и $$2$$ см, а высота равна $$7$$ см.
Рассмотрим диагонали оснований $$AC$$ и $$A_1C_1$$. Для квадратов имеем:
$$AC=10\sqrt{2}, \qquad A_1C_1=2\sqrt{2}.$$
Опустим из точек $$A_1$$ и $$C_1$$ перпендикуляры на плоскость нижнего основания. Тогда получим прямоугольники, а в плоскости, проходящей через диагональ и высоту, рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого горизонтальный катет равен половине разности диагоналей оснований:
$$AK=\frac{AC-A_1C_1}{2}=\frac{10\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}.$$
Теперь в прямоугольном треугольнике $$AA_1K$$ найдём боковое ребро:
$$AA_1=\sqrt{AK^2+7^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+49}=\sqrt{32+49}=\sqrt{81}=9.$$
Ответ: $$9$$ см.
