Упр.70 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите точку пересечения трех плоскостей, задаваемых уравнениями:
1) $$x+y+z=1$$, $$x-2y=0$$, $$2x+y+3z+1=0$$;
2) $$x-y=3$$, $$y+z=2$$, $$x-z=4$$;
3) $$x+z=0$$, $$2x-y=3$$, $$3x+y-z=8$$;
4) $$x+2y+3z=1$$, $$3x+y+2z=2$$, $$2x+3y+z=3$$.
Найдём точку пересечения каждой тройки плоскостей, решая соответствующие системы уравнений.
$$x+y+z=1,$$
$$x-2y=0,$$
$$2x+y+3z+1=0.$$Из второго уравнения $$x=2y$$. Подставим в первое:
$$2y+y+z=1 \Rightarrow z=1-3y.$$
Подставим в третье:
$$2\cdot 2y+y+3(1-3y)+1=0$$
$$5y+3-9y+1=0$$
$$-4y+4=0 \Rightarrow y=1.$$Тогда $$x=2$$, $$z=-2$$.
$$x-y=3,$$
$$y+z=2,$$
$$x-z=4.$$Из первого уравнения $$x=3+y$$, из второго $$z=2-y$$.
Подставим в третье:
$$(3+y)-(2-y)=4$$
$$2y+1=4$$
$$2y=3 \Rightarrow y=\frac{3}{2}.$$Тогда
$$x=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}, \qquad z=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}.$$
$$x+z=0,$$
$$2x-y=3,$$
$$3x+y-z=8.$$Из первого уравнения $$z=-x$$, из второго $$y=2x-3$$.
Подставим в третье:
$$3x+(2x-3)-(-x)=8$$
$$6x-3=8$$
$$6x=11 \Rightarrow x=\frac{11}{6}.$$Тогда
$$y=2\cdot \frac{11}{6}-3=\frac{2}{3}, \qquad z=-\frac{11}{6}.$$
$$x+2y+3z=1,$$
$$3x+y+2z=2,$$
$$2x+3y+z=3.$$Из первого уравнения выразим $$x$$:
$$x=1-2y-3z.$$
Подставим во второе:
$$3(1-2y-3z)+y+2z=2$$
$$3-6y-9z+y+2z=2$$
$$-5y-7z=-1$$
$$y=\frac{1-7z}{5}.$$Тогда
$$x=1-2\cdot \frac{1-7z}{5}-3z=\frac{3-z}{5}.$$
Подставим в третье уравнение:
$$2\cdot \frac{3-z}{5}+3\cdot \frac{1-7z}{5}+z=3$$
$$2(3-z)+3(1-7z)+5z=15$$
$$9-18z=15$$
$$z=-\frac{1}{3}.$$Тогда
$$x=\frac{2}{3}, \qquad y=\frac{2}{3}.$$
Ответ: 1) $$(2;1;-2)$$; 2) $$\left(\frac{9}{2};\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)$$; 3) $$\left(\frac{11}{6};\frac{2}{3};-\frac{11}{6}\right)$$; 4) $$\left(\frac{2}{3};\frac{2}{3};-\frac{1}{3}\right)$$.
