Упр.7 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю её боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.

Боковые грани правильной призмы — квадраты. Пусть $$ABCD$$ — боковая грань, а $$O$$ — центр основания цилиндра. Тогда диагональ боковой грани $$AC$$ образует с осью цилиндра тот же угол, что и отрезок $$AC$$ с вертикалью через точку $$B$$, то есть $$\angle CBA$$.

Так как призма вписана в цилиндр, её основание — правильный шестиугольник, вписанный в окружность основания цилиндра. Для правильного шестиугольника сторона равна радиусу описанной окружности, значит

$$BC=r.$$

По условию радиус основания цилиндра равен его высоте, следовательно высота призмы тоже равна $$r$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$CBA$$

$$CA=r,\qquad CB=r.$$

Следовательно,

$$\tan x=\frac{CA}{CB}=\frac{r}{r}=1,$$

откуда

$$x=45^\circ.$$

Ответ: $$45^\circ$$.