Упр.7 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Через вершину $$A$$ прямоугольника $$ABCD$$ проведена прямая $$AK$$, перпендикулярная его плоскости. Расстояния от точки $$K$$ до других вершин прямоугольника равны $$6\ \text{м}$$, $$7\ \text{м}$$ и $$9\ \text{м}$$. Найдите отрезок $$AK$$.

Так как $$AK \perp (ABCD),$$ то прямая $$AK$$ перпендикулярна всем прямым плоскости прямоугольника, проходящим через точку $$A$$. Значит,

$$AK \perp AB,\quad AK \perp AD,\quad AK \perp AC.$$

Обозначим: $$KB=7\text{ м},\ KD=6\text{ м},\ KC=9\text{ м}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$KBC$$. Так как $$AB \perp BC$$ и $$AB$$ — проекция наклонной $$KB$$ на плоскость $$ABCD$$, то по теореме о трёх перпендикулярах $$KB \perp BC$$. Следовательно,

$$BC=\sqrt{KC^2-KB^2}=\sqrt{9^2-7^2}=\sqrt{32}.$$

В прямоугольнике $$ABCD$$ противоположные стороны равны, значит $$AD=BC=\sqrt{32}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$AKD$$:

$$AK=\sqrt{KD^2-AD^2}=\sqrt{6^2-32}=\sqrt{4}=2\text{ м}.$$

Ответ: $$2\text{ м}.$$