Упр.7 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Через вершину A прямоугольника ABCD проведена прямая AK, перпендикулярная его плоскости. Расстояния от точки K до других вершин прямоугольника равны 6 м, 7 м и 9 м. Найдите отрезок AK.

Так как $$AK \perp (ABCD)$$, то прямая $$AK$$ перпендикулярна любой прямой плоскости прямоугольника, проходящей через точку $$A$$. Значит, $$AK \perp AB$$ и $$AK \perp AD$$.

Обозначим расстояния от точки $$K$$ до вершин прямоугольника: $$KB=7$$ м, $$KD=6$$ м, $$KC=9$$ м.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$KBC$$. Так как $$AB \perp BC$$, а $$AB$$ — проекция наклонной $$KB$$ на плоскость $$ABCD$$, то по теореме о трёх перпендикулярах имеем $$KB \perp BC$$. Следовательно, $$\angle KBC=90^\circ$$.

По теореме Пифагора:

$$ BC=\sqrt{KC^2-KB^2}=\sqrt{9^2-7^2}=\sqrt{81-49}=\sqrt{32}. $$

Так как $$ABCD$$ — прямоугольник, то $$AD=BC$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$AKD$$:

$$ AK=\sqrt{KD^2-AD^2}=\sqrt{6^2-32}=\sqrt{36-32}=\sqrt{4}=2. $$

Ответ: $$2$$ м.