Упр.7 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Через конец $$A$$ отрезка $$AB$$ проведена плоскость. Через конец $$B$$ и точку $$C$$ этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках $$B_1$$ и $$C_1$$. Найдите длину отрезка $$BB_1$$, если:
1) $$CC_1=15\ \text{см}$$, $$AC:BC=2:3$$;
2) $$CC_1=8{,}1\ \text{см}$$, $$AB:AC=11:9$$;
3) $$AB=6\ \text{см}$$, $$AC:CC_1=2:5$$;
4) $$AC=a$$, $$BC=b$$, $$CC_1=c$$.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABB_1$$ и $$\triangle ACC_1$$. У них угол $$\angle A$$ общий, а углы $$\angle ABB_1$$ и $$\angle ACC_1$$ равны как соответственные при параллельных прямых $$BB_1$$ и $$CC_1$$. Значит,

$$\triangle ABB_1 \sim \triangle ACC_1.$$

Отсюда

$$\frac{AB}{AC}=\frac{BB_1}{CC_1}, \qquad BB_1=\frac{AB}{AC}\cdot CC_1.$$

$$CC_1=15\text{ см}, \qquad AC:BC=2:3.$$
Так как $$AB=AC+BC,$$ то
$$AB:AC=(2+3):2=5:2,$$
следовательно,
$$BB_1=\frac{5}{2}\cdot 15=37{,}5\text{ см}.$$
$$CC_1=8{,}1\text{ см}, \qquad AB:AC=11:9.$$
Тогда
$$BB_1=\frac{11}{9}\cdot 8{,}1=9{,}9\text{ см}.$$
$$AB=6\text{ см}, \qquad AC:CC_1=2:5.$$
Из пропорции $$\frac{AB}{AC}=\frac{BB_1}{CC_1}$$ получаем
$$BB_1=\frac{AB\cdot CC_1}{AC}.$$
Так как $$\frac{CC_1}{AC}=\frac{5}{2},$$ то
$$BB_1=6\cdot \frac{5}{2}=15\text{ см}.$$
$$AC=a,\qquad BC=b,\qquad CC_1=c.$$
Тогда $$AB=a+b,$$ и
$$BB_1=\frac{AB}{AC}\cdot CC_1=\frac{a+b}{a}\cdot c=\frac{(a+b)c}{a}.$$