Упр.7 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: 7. Докажите, что медиана треугольника не меньше его биссектрисы, проведенной из той же вершины.

Пусть в треугольнике стороны, прилежащие к одной вершине, равны $$b$$ и $$c$$, а противолежащая сторона равна $$a$$. Обозначим через $$m_a$$ медиану, проведённую из этой вершины, а через $$l_a$$ — биссектрису.

Из известных формул имеем:

$$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2},$$

$$l_a=\frac{\sqrt{bc\big((b+c)^2-a^2\big)}}{b+c}.$$

Докажем, что $$m_a\ge l_a$$. Предположим противное: $$m_a<l_a$$. Тогда после возведения обеих частей в квадрат получим

$$\frac{1}{4}\bigl(2b^2+2c^2-a^2\bigr)<\frac{bc\big((b+c)^2-a^2\big)}{(b+c)^2}.$$

Умножим на $$4(b+c)^2$$:

$$\bigl(2b^2+2c^2-a^2\bigr)(b+c)^2<4bc\big((b+c)^2-a^2\big).$$

Раскроем скобки и перенесём всё в одну сторону:

$$2(b-c)^2(b+c)^2<a^2(b-c)^2.$$

Если $$b\ne c$$, то можно разделить на $$ (b-c)^2>0 $$ и получить

$$2(b+c)^2<a^2,$$

то есть $$b+c<a$$, что противоречит неравенству треугольника.

Если $$b=c$$, то медиана и биссектриса из этой вершины совпадают, значит $$m_a=l_a$$.

Следовательно, в любом треугольнике медиана, проведённая из данной вершины, не меньше биссектрисы, проведённой из той же вершины.

Ответ

$$m_a\ge l_a$$.