Упр.69 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дано: Правильная усеченная пирамида;
Доказать: Боковая поверхность пирамиды равна произведению
полусуммы периметров оснований на апофему;
Доказательство:
1) Боковые грани усеченной пирамиды-это трапеции с одинаковыми
основаниями a и b и высотой l (она же апофема пирамиды);
2) Площадь боковой грани равна 1/2 (a+b)l, тогда площадь всех
граней 1/2 (an+bn)l, где n-число вершин у основания пирамиды,
an и bn-периметры оснований пирамиды, что и требовалось
доказать.

Подробный ответ

Боковые грани правильной усечённой пирамиды — равные равнобедренные трапеции. Пусть основания одной такой трапеции равны $$a$$ и $$b$$, а её высота равна $$l$$. Эта высота является апофемой усечённой пирамиды.

Тогда площадь одной боковой грани равна

$$S_1=\frac{1}{2}(a+b)l.$$

Если у основания пирамиды $$n$$ сторон, то боковых граней тоже $$n$$. Сумма длин всех нижних оснований боковых граней равна периметру нижнего основания, а сумма длин всех верхних оснований — периметру верхнего основания. Обозначим их через $$P_1$$ и $$P_2$$.

Тогда полная боковая поверхность усечённой пирамиды равна

$$S_{\text{бок}}=n\cdot \frac{1}{2}(a+b)l=\frac{1}{2}(P_1+P_2)l.$$

Следовательно, боковая поверхность правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.