Упр.69 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Докажите, что плоскости, заданные уравнениями x + у + z = 1, 2x + у + 3z + 1 = 0, x + 2z + 1 = 0, не имеют ни одной общей точки.

Подробный ответ

Предположим, что существует точка $$A(x;y;z)$$, общая для всех трёх плоскостей. Тогда её координаты должны удовлетворять всем трём уравнениям:

$$x+y+z=1,$$

$$2x+y+3z+1=0,$$

$$x+2z+1=0.$$

Сложим первое и третье уравнения:

$$\begin{aligned} (x+y+z)+(x+2z+1)&=1+0,\\ 2x+y+3z+1&=1,\\ 2x+y+3z&=0. \end{aligned}$$

Но из второго уравнения системы получаем:

$$2x+y+3z=-1.$$

Получили противоречие: одно и то же выражение не может одновременно равняться $$0$$ и $$-1$$. Значит, общая точка у трёх плоскостей не существует.