Упр.69 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 4-69. Докажите, что плоскости, заданные уравнениями $$x+y+z=1$$, $$2x+y+3z+1=0$$, $$x+2z+1=0$$, не имеют ни одной общей точки.

Пусть существует общая точка трёх плоскостей и её координаты равны $$A(x;y;z).$$ Тогда координаты должны удовлетворять всем трём уравнениям:

$$x+y+z=1,$$
$$2x+y+3z+1=0,$$
$$x+2z+1=0.$$

Сложим первое и третье уравнения:

$$\begin{aligned} (x+y+z)+(x+2z+1)&=1+0,\\ 2x+y+3z+1&=1. \end{aligned}$$

Получаем

$$2x+y+3z=0.$$

Но из второго уравнения системы имеем

$$2x+y+3z=-1.$$

Это противоречие. Значит, система уравнений не имеет решения, а следовательно, данные плоскости не имеют ни одной общей точки.

Ответ: общих точек нет.