Упр.68 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
В правильной четырехугольной пирамиде найдите сторону основания, если боковое ребро равно $$5\ \text{см}$$, а полная поверхность $$16\ \text{см}^2$$.
Обозначим сторону основания через $$x$$, а апофему пирамиды через $$SM=y$$.
Так как пирамида правильная, то основание $$ABCD$$ — квадрат, а точка $$M$$ — середина стороны $$BC$$. Тогда в равнобедренном треугольнике $$SBC$$ отрезок $$SM$$ является высотой и медианой, значит $$SM \perp BC$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$SCM$$:
$$SC^2=SM^2+MC^2$$
$$5^2=y^2+\left(\frac{x}{2}\right)^2$$
$$100=x^2+4y^2.$$
Площадь полной поверхности равна сумме площади основания и боковой поверхности:
$$S_{\text{полн}}=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}.$$
Так как основание — квадрат, то
$$S_{\text{осн}}=x^2.$$
Боковая поверхность правильной пирамиды:
$$S_{\text{бок}}=p\cdot SM,$$
где $$p$$ — полупериметр основания. Для квадрата $$p=2x$$, значит
$$S_{\text{бок}}=2xy.$$
По условию $$S_{\text{полн}}=16$$, поэтому
$$x^2+2xy=16.$$
Получаем систему:
$$\begin{cases} x^2+4y^2=100,\\ x^2+2xy=16. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=\frac{16-x^2}{2x}.$$
Подставим в первое:
$$x^2+4\left(\frac{16-x^2}{2x}\right)^2=100.$$
После преобразований:
$$x^4-66x^2+128=0.$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-66t+128=0,$$
откуда
$$t=2 \quad \text{или} \quad t=64.$$
Следовательно,
$$x=\sqrt{2} \quad \text{или} \quad x=8.$$
Проверим оба значения:
при $$x=8$$ получаем $$S_{\text{осн}}=64$$, что больше $$S_{\text{полн}}=16$$, значит этот корень не подходит.
Остаётся
$$x=\sqrt{2}.$$
Ответ: $$\sqrt{2}\text{ см}$$.
