Упр.68 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: B правильной четырехугольной пирамиде найдите сторону основания, если боковое ребро равно 5 см, а полная поверхность 16 см2.
Обозначим сторону основания правильной четырёхугольной пирамиды через $$x$$, а апофему — через $$SM=y$$.
Так как пирамида правильная, то $$SO \perp ABCD$$, а в основании квадрат. Проведём в грани $$SBC$$ высоту $$SM$$ к стороне $$BC$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $$SM \perp BC$$, значит $$SM$$ — апофема пирамиды.
В равнобедренном треугольнике $$SBC$$ имеем $$BM=\frac{1}{2}BC=\frac{x}{2}$$. Тогда по теореме Пифагора:
$$SC^2=SM^2+MC^2$$
$$5^2=y^2+\left(\frac{x}{2}\right)^2$$
$$25=y^2+\frac{x^2}{4}.$$
Площадь полной поверхности равна сумме площади основания и боковой поверхности:
$$S_{\text{полн}}=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}.$$
Для правильной пирамиды
$$S_{\text{бок}}=p\cdot SM,$$
где $$p$$ — полупериметр основания. У квадрата со стороной $$x$$:
$$p=2x,$$
поэтому
$$S_{\text{бок}}=2xy.$$
Так как $$S_{\text{полн}}=16$$ и $$S_{\text{осн}}=x^2$$, получаем:
$$x^2+2xy=16.$$
Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$y=\frac{16-x^2}{2x}.$$
Подставим в уравнение $$25=y^2+\frac{x^2}{4}$$:
$$25=\left(\frac{16-x^2}{2x}\right)^2+\frac{x^2}{4}.$$
Умножим на $$4x^2$$:
$$100x^2=(16-x^2)^2+x^4.$$
После преобразований:
$$100x^2=256-32x^2+2x^4,$$
$$2x^4-132x^2+256=0,$$
$$x^4-66x^2+128=0.$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-66t+128=0.$$
Отсюда
$$t=2 \quad \text{или} \quad t=64.$$
Значит,
$$x=\sqrt{2} \quad \text{или} \quad x=8.$$
Проверим оба значения по условию $$x^2+2xy=16$$. При $$x=8$$ получаем $$x^2=64>16$$, что невозможно. Следовательно,
$$x=\sqrt{2}.$$
Тогда
$$y=\frac{16-2}{2\sqrt{2}}=\frac{14}{2\sqrt{2}}=\frac{7}{\sqrt{2}}.$$
Искомая сторона основания равна $$\sqrt{2}$$ см.
Ответ
$$\sqrt{2}\text{ см}$$