Упр.68 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что любая плоскость, параллельная плоскости $$ax+by+cz+d=0$$, задаётся уравнением $$ax+by+cz+d_1=0$$, $$d_1\ne d$$.
Пусть плоскость $$\alpha$$ задана уравнением $$ax+by+cz+d=0.$$
Рассмотрим любую плоскость $$\beta,$$ параллельную плоскости $$\alpha.$$ Тогда нормальный вектор плоскости $$\alpha$$ равен $$\vec n=(a,b,c),$$ и он же является нормальным вектором плоскости $$\beta,$$ так как параллельные плоскости имеют параллельные нормали.
Следовательно, уравнение плоскости $$\beta$$ имеет тот же вид:
$$ax+by+cz+d_1=0.$$
Остаётся показать, что $$d_1\ne d.$$ Если бы было $$d_1=d,$$ то уравнение плоскости $$\beta$$ совпало бы с уравнением плоскости $$\alpha,$$ а значит, это была бы одна и та же плоскость, а не параллельные различные плоскости. Поэтому $$d_1\ne d.$$
Итак, любая плоскость, параллельная плоскости $$ax+by+cz+d=0,$$ задаётся уравнением $$ax+by+cz+d_1=0,$$ где $$d_1\ne d.$$
