Упр.67 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- 5-67. Найдите сторону основания и апофему правильной треугольной пирамиды, если её боковое ребро равно $$10\ \text{см}$$, а площадь боковой поверхности равна $$144\ \text{см}^2$$.
Пусть $$AB=BC=CA=x$$ — сторона основания, а $$SM=y$$ — апофема пирамиды.
Так как пирамида правильная, то $$SO\perp ABC$$, а в основании $$OM\perp AC$$. Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах $$SM\perp AC$$, значит $$SM$$ — апофема пирамиды.
Рассмотрим боковую грань $$SAC$$. Она равнобедренная, поэтому $$SM$$ является в ней и высотой, и медианой. Тогда
$$AM=\frac{1}{2}AC=\frac{x}{2}.$$
В прямоугольном треугольнике $$ASM$$ имеем:
$$AS^2=AM^2+SM^2,$$
$$10^2=\left(\frac{x}{2}\right)^2+y^2,$$
$$400=x^2+4y^2.$$
Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна
$$S_{\text{бок}}=p\cdot SM,$$
где $$p$$ — полупериметр основания. Так как основание — равносторонний треугольник со стороной $$x$$, то
$$p=\frac{3x}{2}.$$
По условию:
$$144=\frac{3x}{2}\cdot y,$$
$$xy=96.$$
Решим систему
$$\begin{cases} x^2+4y^2=400,\\ xy=96. \end{cases}$$
Умножим второе уравнение на $$4$$ и сложим с первым:
$$x^2+4xy+4y^2=400+384,$$
$$\left(x+2y\right)^2=784,$$
$$x+2y=28.$$
Тогда $$x=28-2y$$. Подставим в $$xy=96$$:
$$y(28-2y)=96,$$
$$2y^2-28y+96=0,$$
$$y^2-14y+48=0,$$
$$\left(y-6\right)\left(y-8\right)=0.$$
Значит, $$y=6$$ или $$y=8$$.
Тогда соответственно
$$x=\frac{96}{6}=16$$ или $$x=\frac{96}{8}=12.$$
Ответ: сторона основания и апофема пирамиды равны $$16\text{ см}$$ и $$6\text{ см}$$ или $$12\text{ см}$$ и $$8\text{ см}$$.
