Упр.66 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Найдите расстояние от точки C(6; -8; 10) до плоскостей из предыдущей задачи.

Подробный ответ

Расстояние от точки $$C(x_0;y_0;z_0)$$ до плоскости $$ax+by+cz+d=0$$ вычисляется по формуле

$$h=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$$

1) Для плоскости $$3x-y-z+6=0$$ имеем:

$$h=\frac{|3\cdot 6+(-1)\cdot(-8)+(-1)\cdot 10+6|}{\sqrt{3^2+(-1)^2+(-1)^2}}$$

$$h=\frac{|18+8-10+6|}{\sqrt{11}}=\frac{22}{\sqrt{11}}=2\sqrt{11}.$$

2) Для плоскости $$3x+6y-2z-5=0$$ получаем:

$$h=\frac{|3\cdot 6+6\cdot(-8)+(-2)\cdot 10-5|}{\sqrt{3^2+6^2+(-2)^2}}$$

$$h=\frac{|18-48-20-5|}{\sqrt{49}}=\frac{55}{7}.$$

3) Для плоскости $$x-5y+8z-63=0$$:

$$h=\frac{|1\cdot 6+(-5)\cdot(-8)+8\cdot 10-63|}{\sqrt{1^2+(-5)^2+8^2}}$$

$$h=\frac{|6+40+80-63|}{\sqrt{90}}=\frac{63}{\sqrt{90}}=\frac{21}{\sqrt{10}}.$$