Упр.65 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 4-65. Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку A и перпендикулярна прямой AB, если:
   1) $$A(-1; 1; 2),\ B(2; 0; 1)$$;
   2) $$A(1; 0; -1),\ B(4; 6; -3)$$;
   3) $$A(3; -4; 5),\ B(2; 1; -3)$$.

Плоскость, перпендикулярная прямой $$AB,$$ имеет нормальный вектор, совпадающий с направляющим вектором прямой $$AB.$$ Поэтому сначала находим координаты вектора $$\overrightarrow{AB},$$ а затем записываем уравнение плоскости по формуле

$$n_x(x-x_0)+n_y(y-y_0)+n_z(z-z_0)=0,$$

где $$A(x_0;y_0;z_0)$$ — точка, через которую проходит плоскость, а $$\vec n=(n_x;n_y;n_z)$$ — её нормальный вектор.

1)

$$A(-1;1;2),\quad B(2;0;1).$$

Найдём вектор $$\overrightarrow{AB}:$$

$$\overrightarrow{AB}=(2-(-1);\,0-1;\,1-2)=(3;-1;-1).$$

Тогда уравнение плоскости:

$$3(x+1)-1(y-1)-1(z-2)=0.$$

Раскроем скобки:

$$3x+3-y+1-z+2=0,$$

$$3x-y-z+6=0.$$

2)

$$A(1;0;-1),\quad B(4;6;-3).$$

Найдём вектор $$\overrightarrow{AB}:$$

$$\overrightarrow{AB}=(4-1;\,6-0;\,-3-(-1))=(3;6;-2).$$

Уравнение плоскости:

$$3(x-1)+6(y-0)-2(z+1)=0.$$

После раскрытия скобок получаем:

$$3x-3+6y-2z-2=0,$$

$$3x+6y-2z-5=0.$$

3)

$$A(3;-4;5),\quad B(2;1;-3).$$

Найдём вектор $$\overrightarrow{AB}:$$

$$\overrightarrow{AB}=(2-3;\,1-(-4);\,-3-5)=(-1;5;-8).$$

Уравнение плоскости:

$$-(x-3)+5(y+4)-8(z-5)=0.$$

Раскроем скобки:

$$-x+3+5y+20-8z+40=0,$$

$$x-5y+8z-63=0.$$

Ответ

1) $$3x-y-z+6=0;$$ 2) $$3x+6y-2z-5=0;$$ 3) $$x-5y+8z-63=0.$$