Упр.65 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку A и перпендикулярна прямой AB, если:1) A(-1; 1; 2), B(2; 0; 1);2) A(1; 0; -1), B(4; 6; -3);3) A(3; -4; 5), B(2; 1; -3).
Уравнение плоскости, проходящей через точку $$A(x_0;y_0;z_0)$$ и перпендикулярной прямой $$AB$$, составим по нормальному вектору $$\overrightarrow{AB}$$:
$$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\,y_B-y_A;\,z_B-z_A).$$
1) $$A(-1;1;2),\ B(2;0;1).$$
Нормальный вектор плоскости:
$$\overrightarrow{AB}=(2-(-1);\,0-1;\,1-2)=(3;-1;-1).$$
Тогда уравнение плоскости:
$$3(x+1)-1(y-1)-1(z-2)=0.$$
После раскрытия скобок получаем:
$$3x+3-y+1-z+2=0,$$
$$3x-y-z+6=0.$$
2) $$A(1;0;-1),\ B(4;6;-3).$$
Нормальный вектор плоскости:
$$\overrightarrow{AB}=(4-1;\,6-0;\,-3-(-1))=(3;6;-2).$$
Уравнение плоскости:
$$3(x-1)+6(y-0)-2(z+1)=0.$$
Приведём подобные:
$$3x-3+6y-2z-2=0,$$
$$3x+6y-2z-5=0.$$
3) $$A(3;-4;5),\ B(2;1;-3).$$
Нормальный вектор плоскости:
$$\overrightarrow{AB}=(2-3;\,1-(-4);\,-3-5)=(-1;5;-8).$$
Уравнение плоскости:
$$-(x-3)+5(y+4)-8(z-5)=0.$$
Раскроем скобки:
$$-x+3+5y+20-8z+40=0,$$
$$x-5y+8z-63=0.$$
Ответ
1) $$3x-y-z+6=0$$; 2) $$3x+6y-2z-5=0$$; 3) $$x-5y+8z-63=0$$.