Упр.64 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- 5-64. По стороне основания $$a$$ найдите боковую поверхность правильной четырёхугольной пирамиды, у которой диагональное сечение равновелико основанию.
Пусть $$O$$ — центр квадрата основания, $$M$$ — середина стороны $$AB$$. Тогда $$SO \perp ABCD$$, а в квадрате $$OM \perp AB$$. Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах $$SM \perp AB$$.
Так как $$ABCD$$ — квадрат, то его диагональ
$$AC=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}.$$
Диагональное сечение $$SAC$$ — треугольник, и по условию его площадь равна площади основания:
$$S_{SAC}=S_{ABCD}.$$
С одной стороны,
$$S_{SAC}=\frac12 \cdot AC \cdot SO,$$
с другой стороны,
$$S_{ABCD}=a^2.$$
Тогда
$$\frac12 \cdot a\sqrt{2}\cdot SO=a^2,$$
откуда
$$SO=\frac{2a^2}{a\sqrt{2}}=a\sqrt{2}.$$
Теперь в прямоугольном треугольнике $$SOM$$ имеем
$$OM=\frac{a}{2},$$
поэтому
$$SM=\sqrt{SO^2+OM^2}=\sqrt{2a^2+\frac{a^2}{4}}=\frac{3a}{2}.$$
Боковая поверхность правильной пирамиды равна
$$S_{\text{бок}}=p\cdot SM,$$
где $$p$$ — полупериметр основания. Для квадрата
$$p=\frac{4a}{2}=2a.$$
Тогда
$$S_{\text{бок}}=2a\cdot \frac{3a}{2}=3a^2.$$
Ответ: $$3a^2$$.
