Упр.64 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: По стороне основания а найдите боковую поверхность правильной четырехугольной пирамиды, у которой диагональное сечение равновелико основанию.

Пусть $$SABCD$$ — правильная четырёхугольная пирамида, $$AB=a$$. Обозначим через $$O$$ центр основания, а через $$M$$ — середину стороны $$AB$$.

Проведём $$SO \perp ABCD$$ и $$OM \perp AB$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $$SM \perp AB$$.

Так как основание пирамиды — квадрат, то его диагональ

$$AC=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}.$$

Диагональное сечение $$SAC$$ — треугольник, и по условию его площадь равна площади основания:

$$S_{SAC}=S_{ABCD}.$$

С одной стороны,

$$S_{SAC}=\frac12 \cdot AC \cdot SO.$$

С другой стороны,

$$S_{ABCD}=a^2.$$

Тогда

$$\frac12 \cdot a\sqrt{2}\cdot SO=a^2,$$

откуда

$$SO=\frac{2a^2}{a\sqrt{2}}=a\sqrt{2}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$SOM$$. Так как $$O$$ — центр квадрата, то

$$OM=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}.$$

Следовательно,

$$SM=\sqrt{SO^2+OM^2}=\sqrt{2a^2+\frac{a^2}{2}}=\sqrt{\frac{5a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{10}}{2}.$$

Боковая поверхность правильной пирамиды равна

$$S_{\text{бок}}=4\cdot \frac12 \cdot AB \cdot SM=2a\cdot SM.$$

Подставим найденное значение $$SM$$:

$$S_{\text{бок}}=2a\cdot \frac{a\sqrt{10}}{2}=a^2\sqrt{10}.$$

Ответ

$$a^2\sqrt{10}$$