Упр.64 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Из точки вне плоскости проведены перпендикуляр и две равные наклонные, образующие углы $$a$$ с перпендикуляром. Найдите угол $$\varphi$$ между проекциями наклонных, если угол между наклонными $$p$$.

Пусть $$D$$ — основание перпендикуляра $$AD$$ к плоскости, а $$B$$ и $$C$$ — основания наклонных $$AB$$ и $$AC$$. Тогда проекции наклонных на плоскость — это отрезки $$DB$$ и $$DC$$, значит искомый угол $$\varphi=\angle BDC$$.

Так как наклонные равны, то их проекции тоже равны: $$DB=DC=a$$.

В прямоугольном треугольнике $$ADB$$ имеем

$$\sin \alpha=\frac{AD}{AB}, \qquad AB=\frac{AD}{\sin \alpha}.$$

Аналогично $$AC=\dfrac{AD}{\sin \alpha}$$, то есть $$AB=AC$$.

Теперь рассмотрим треугольник $$ABC$$. По теореме косинусов:

$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos\beta$$

$$BC^2=\frac{a^2}{\sin^2\alpha}+\frac{a^2}{\sin^2\alpha}-2\cdot \frac{a^2}{\sin^2\alpha}\cos\beta =\frac{2a^2(1-\cos\beta)}{\sin^2\alpha}.$$

В треугольнике $$BDC$$ по теореме косинусов:

$$\cos\varphi=\frac{DB^2+DC^2-BC^2}{2\cdot DB\cdot DC} =\frac{2a^2-BC^2}{2a^2}.$$

Подставим найденное значение $$BC^2$$:

$$\cos\varphi =1-\frac{1-\cos\beta}{\sin^2\alpha} =\frac{\cos\beta-\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}.$$

Ответ: $$\cos\varphi=\dfrac{\cos\beta-\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$$.