Упр.63 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В правильной четырехугольной пирамиде площадь боковой поверхности равна $$14{,}76\ \text{м}^2$$, а площадь полной поверхности — $$18\ \text{м}^2$$. Найдите сторону основания и высоту пирамиды.
Площадь основания пирамиды равна разности полной и боковой поверхностей:
$$S_{\text{осн}}=S-S_{\text{бок}}=18-14{,}76=3{,}24\ \text{м}^2.$$
Так как пирамида правильная, её основание — квадрат. Тогда
$$AB=\sqrt{S_{\text{осн}}}=\sqrt{3{,}24}=1{,}8\ \text{м}.$$
Найдём апофему $$SM$$. Для правильной пирамиды
$$S_{\text{бок}}=p\cdot SM,$$
где $$p$$ — полупериметр основания. Для квадрата
$$p=\frac{4AB}{2}=2AB,$$
значит
$$SM=\frac{S_{\text{бок}}}{p}=\frac{14{,}76}{2\cdot 1{,}8}=4{,}1\ \text{м}.$$
В прямоугольном треугольнике $$SOM$$ имеем $$SO\perp ABCD$$, поэтому $$SO\perp OM$$. Центр квадрата $$O$$ лежит на расстоянии
$$OM=\frac{AB}{2}=0{,}9\ \text{м}.$$
Тогда высота пирамиды:
$$SO=\sqrt{SM^2-OM^2}=\sqrt{4{,}1^2-0{,}9^2}=\sqrt{16{,}81-0{,}81}=\sqrt{16}=4\ \text{м}.$$
Ответ: $$1{,}8\ \text{м},\ 4\ \text{м}.$$
