Упр.63 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: B правильной четырехугольной пирамиде площадь боковой поверхности равна 14,76 м2, а площадь полной поверхности 18 м2. Найдите сторону основания и высоту пирамиды.

Пусть $$SABCD$$ — правильная четырёхугольная пирамида, $$SO \perp ABCD$$, а $$M$$ — середина стороны $$AB$$. Тогда $$OM \perp AB$$, и по теореме о трёх перпендикулярах $$SM \perp AB$$, то есть $$SM$$ — апофема пирамиды.

Найдём площадь основания:

$$S_{\text{осн}}=S-S_{\text{бок}}=18-14{,}76=3{,}24\ \text{м}^2.$$

Так как основание — квадрат, то

$$AB=\sqrt{S_{\text{осн}}}=\sqrt{3{,}24}=1{,}8\ \text{м}.$$

Для правильной пирамиды площадь боковой поверхности равна

$$S_{\text{бок}}=p\cdot SM,$$

где $$p$$ — полупериметр основания. Для квадрата

$$p=\frac{4AB}{2}=2AB,$$

значит

$$SM=\frac{S_{\text{бок}}}{p}=\frac{14{,}76}{2\cdot 1{,}8}=4{,}1\ \text{м}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$SOM$$. Так как $$O$$ — центр квадрата, то

$$OM=\frac{AB}{2}=0{,}9\ \text{м}.$$

Тогда высота пирамиды:

$$SO=\sqrt{SM^2-OM^2}=\sqrt{4{,}1^2-0{,}9^2}=\sqrt{16{,}81-0{,}81}=\sqrt{16}=4\ \text{м}.$$

Ответ

$$1{,}8\ \text{м},\ 4\ \text{м}.$$