Упр.63 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Наклонная образует угол $$45^\circ$$ с плоскостью. Через основание наклонной проведена прямая в плоскости под углом $$45^\circ$$ к проекции наклонной. Найдите угол $$\varphi$$ между этой прямой и наклонной.

Подробный ответ

Опустим из точки $$S$$ перпендикуляр $$SA$$ к плоскости $$\alpha$$. Тогда $$BA$$ — проекция наклонной $$SB$$ на плоскость $$\alpha$$, поэтому

$$\angle SBA=45^\circ.$$

По условию прямая $$BC$$ лежит в плоскости $$\alpha$$ и образует с проекцией $$BA$$ угол $$45^\circ$$, значит

$$\angle CBA=45^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$SBA$$ имеем

$$AB=SB\cos 45^\circ=SB\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{SB}{\sqrt2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ (так как $$AC\perp \alpha$$, а $$BC\subset \alpha$$) получаем

$$BC=AB\cos 45^\circ=\frac{SB}{\sqrt2}\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{SB}{2}.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$SBC$$

$$\cos\varphi=\frac{BC}{SB}=\frac{1}{2}.$$

Следовательно,