Упр.63 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Наклонная образует угол 45° с плоскостью. Через основание наклонной проведена прямая в плоскости под углом 45° к проекции наклонной. Найдите угол ф между этой прямой и наклонной.

Подробный ответ

Опустим из точки $$S$$ перпендикуляр $$SA$$ к плоскости $$\alpha$$. Тогда $$BA$$ — проекция наклонной $$SB$$ на плоскость $$\alpha$$, поэтому

$$\angle SBA=45^\circ.$$

По условию прямая $$BC$$ лежит в плоскости $$\alpha$$ и образует с проекцией $$BA$$ угол $$45^\circ$$, значит

$$\angle CBA=45^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$SBA$$ имеем

$$AB=SB\cdot \cos \angle SBA=SB\cdot \cos 45^\circ=SB\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{SB}{\sqrt{2}}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ (так как $$AC\perp BC$$ по теореме о трёх перпендикулярах) получаем

$$BC=AB\cdot \cos \angle CBA=\frac{SB}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{SB}{2}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$SBC$$. Тогда

$$\cos \varphi=\frac{BC}{SB}=\frac{SB/2}{SB}=\frac{1}{2}.$$

Следовательно,